Salut, je pense avoir compris par le haut mais quelqu'un pourrait me l'expliquer pour que j'en sois sur merci

C'est une récurrence mais t'appelles ça induction parce que franchement, c'est plus classe.

Donc dans l'exo 9 c'est ni plus ni moins qu'une récurrence? http://alain.troesch.freeree.fr/2015/Fichiers/fond2.pdf

C'est de la récurrence sous stéroïdes ouais. D'ailleurs "induction" est juste le mot anglais pour dire récurrence ; en français on utilise "récurrence" quand on parle d'induction sur les entiers naturels, et "induction" quand c'est sur d'autres structures (dans ton exo, les formules logiques).
Tu peux voir la récurrence comme un cas particulier d'induction.

Avec les notations de ton exo, tu prends Le = R par exemple, m=1, tu as une seule fonction f_1 : R -> R qui est f_1(x) = x+1, et ton ensemble F_0 c'est {0}. Ton ensemble F ça va être l'ensemble N des entiers naturels, et le principe d'induction du petit 3 va être exactement le principe de récurrence habituel que tu connais.
La construction par le bas du 2 te dis que N s'obtient en partant de 0 en appliquant autant de fois que nécessaire la fonction successeur. La construction par le haut est pas franchement intéressante : N est l'intersection de tous les sous ensembles de R qui contiennent 0 et sont stables par application du successeur.

Ah j'ai oublié, k_1 = 1 (la fonction successeur prend un seul argument)

Merci je comprends mieux du coup

alors foufi on galère pour faire son dm