Bonjour, j'ai un exo où je dois utiliser les théorèmes de comparaison.

Je dois trouver les limites de Un pour n >= 0 :

- Un = n! (montrez que u_n >= n )
- Un = sqrt(n^2+1) (montrez que u_n >= n)

Sauf que j'ai jamais manié les factorielles donc je vois pas trop comment arriver à l'inéquation

n! = n*(n-1)*...*2*1.

Or (n-1)*...*2*1 >= 1. Donc n! >= n.

Pour l'autre factorise par n^2 dans la racine.

n! c'est 1*2*3*...*(n-1)*n, donc tu multiplies n par une certaine quantité. Reste à montrer que cette quantité est bien supérieure à 1

je comprends pas
mq u(n) >= n ça a rien à voir avec les limites , c'est montrer une inégalité

Montrer que u_n >= n, ça permet de trouver la limite.

Le 25 septembre 2016 à 16:20:08 Prauron a écrit :
Montrer que u_n >= n, ça permet de trouver la limite.
Le 25 septembre 2016 à 16:15:45 Prauron a écrit :
n! = n*(n-1)*...*2*1.

Or (n-1)*...*2*1 >= 1. Donc n! >= n.

Pour l'autre factorise par n^2 dans la racine.

Sauf que dans l'énoncé y'a marqué que n commence à 0, donc n factorielle fait 0 non ?

0! = 1.
L'inégalité n'est vraie qu'à partir du rang 1, mais c'est pas grave, le but c'est de trouver la limite donc même si c'était vrai qu'à partir du rang 56878 ça permettrait quand même de conclure.

bah justement l'inégalité est vrai dès 0, vu que 0!=1>=1

0! >= 1 >= 0 oui j'ai dit de la merde là.

Ah 0! vaut 1 J'ai p'tet pas bien pigé le concept de factorielle alors.

0!= 1 par convention, cherche pas à comprendre c'est comme ça c'est tout
mais sinon n!=1*2*3*...*(n-1)*n

0!=1 parce que le neutre de la multiplication c'est 1 ( si on multiplie par rien du tout, on multiplie par 1)

0! = 1 c'est une convention. Mais c'est cette convention qu'il faut prendre pour que la formule n! = n*(n-1)! soit vraie pour n = 1.
Et aussi, n! est le nombre de bijections d'un ensemble à n éléments dans lui-même. Un ensemble à 0 élément c'est l'ensemble vide, et il possède une seule bijection qui est l'application vide.
C'est aussi cohérent avec les formules de combinaisons "k parmi n".
Bref c'est une convention mais qui marche bien avec tout ce qu'on connaît, donc finalement c'est plutôt logique.

Le 25 septembre 2016 à 16:36:31 skywear a écrit :
0!=1 parce que le neutre de la multiplication c'est 1 ( si on multiplie par rien du tout, on multiplie par 1)

Comme pour puissance de 0 en fait

Donc 3! c'est 1*2*3 ?
On peut faire des factorielles de nombres négatifs ?

Enfin je m'égare de mon exo là

on peut pas avec la factorielle définie par n!=n(n-1)...1 en tout cas non, mais on peut étendre la factorielle aux complexes par la fonction gamma qui coïncide avec la factorielle pour les valeurs entières positives

Non pas de factorielle pour les entiers (strictement) négatifs.
On peut étendre cette fonction à un ensemble beaucoup plus grand que juste les entiers naturels, mais ça dépasse un peu le cadre de ton exo.

Le 25 septembre 2016 à 16:37:00 Prauron a écrit :
0! = 1 c'est une convention. Mais c'est cette convention qu'il faut prendre pour que la formule n! = n*(n-1)! soit vraie pour n = 1.
Et aussi, n! est le nombre de bijections d'un ensemble à n éléments dans lui-même. Un ensemble à 0 élément c'est l'ensemble vide, et il possède une seule bijection qui est l'application vide.
C'est aussi cohérent avec les formules de combinaisons "k parmi n".
Bref c'est une convention mais qui marche bien avec tout ce qu'on connaît, donc finalement c'est plutôt logique.

je croyais que dans la quantification sur le vide on pouvait mettre ce qu'on veut ...

Pour l'autre factorise par n^2 dans la racine.

Je vois pas en quoi ça m'aide de factoriser dans la racine je trouve sqrt(n^2(1+1/n^2))

Ben ça fait n * sqrt(1 + 1/n^2) >= n

tu sais que la fonction racine carrée est croissante ? tu sais le démontrer ?
tu sais que sqrt(n^2)=n ?
que peux tu en déduire du coup pour
- Un = sqrt(n^2+1)