Salut.

Je commence l'analyse dimensionnelle et j'ai quelques questions qui vous paraîtront triviales :

- Quelle est la différence entre une équation linéaire et une équation non linéaire, concrètement ?

- Comment le fait de réduire m grandeurs dimensionnelles exprimées dans n grandeurs fondamentales en m-n grandeurs sans dimensions peut nous aider à simuler la réalité avec un modèle réduit ? J'ai l'impression que c'est juste une difference de "taille", pas de dimensions !

- Su vous avez un site avec des cours de physique élémentaire sur les charges, la loi de coulomb, la thermodynamique... Je suis partant.

Merci d'avance !

Tu sais ce que c'est une application linéaire ? Ou une combinaison linéaire ?

Le 19 septembre 2016 à 21:47:42 Prauron a écrit :
Tu sais ce que c'est une application linéaire ? Ou une combinaison linéaire ?

Une combinaison linéaire, oui. C'est ce qu'on utilise pour le pivot de Gauss pour donner un exemple rapide.

Pour vous situer, je viens tout juste d'entrer dans ma première année universitaire.

Et bien une équation linéaire c'est une équation de la forme a1*x1 + ... + an*xn = b, où les ai sont des scalaires (des réels ou des complexes quoi) et les xi les variables qui t'intéressent (ça peut être des grandeurs physique, des vecteurs, des fonctions...).
Par exemple, tu as les équations différentielles linéaires https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_diff%C3%A9rentielle_lin%C3%A9aire .
En gros dans une équation linéaire, les variables sont reliées entre elles par des relations linéaires, c'est-à-dire des combinaisons linéaires. T'as pas de carré, de cubes, où de fonctions plus compliquées de tes variables.

De toute façon la linéarité c'est tellement fondamental en maths, et t'en entendras tellement souvent parler que ça va vite te paraître naturel.

Merci !

Et quelle est l'importance, l'application de la linéarité homogène dans l'analyse dimensionnelle ? Par exemple, on a :

a1*x1 + ... + an*xn = b si b est différent de 0

et

a1*x1 + ... + an*xn = 0

Quelle est la différence entre ces deux équations dans l'analyse dimensionnelle ?

Lorsque le second membre est égal à 0, tu peux choisir un scalaire k quelconque, remplacer chaque xi par k*xi, et l'équation reste vraie. C'est ce qu'on appelle l'homogénéité.
T'as pas cette propriété quand t'as un second membre, puisqu'à droite tu auras k*b.

Merci.

Dernière petite question : lorsqu'on veut appliquer la théorie de Buckingham, je me retrouve avec ceci à la fin :

C'est très probablement tout aussi trivial, mais je ne comprends pas comment à partir d'une relation entre un espace "pi" trouvé, on peut dire que t est proportionnel à la racine carrée de h sur g. On peut dire que dans "force = masse*accélération" que la force est proportionnelle à l'accélération par exemple, mais ici, ce n'est pas vraiment une équation. Je ne saisis pas.

Euh je connais pas ce théorème mais d'après la page wiki, pi c'est juste une grandeur sans dimension. C'est quoi pi dans ton exemple ?
Parce que si c'est juste une constante sans dimension, comme pi = t²g/h, alors t = sqrt(pi)*sqrt(h/g), et comme sqrt(pi) est sans dimension, on dit que t est proportionnel à sqrt(h/g).

Oui, pi est une grandeur sans dimensions, la lettre n'a pas d'importance.

Ah mais oui, comme c'est une grandeur sans dimension, c'est considéré comme étant juste un nombre et donc on peut en tirer la proportionnalité ?

En tout cas c'est comme ça que je le comprends.

Pour être sûr, qu'est ce qu'une grandeur sans dimension concrètement ?

Car je pensais qu'une grandeur sans dimension est juste un nombre, mais ces deux mots sont vraiment proches l'un de l'autre. La longueur est une grandeur ou une dimension, par exemple ?

Une grandeur sans dimension est une grandeur invariante par changement de système d'unités

?

C'est plutôt une équation linéaire homogène ça. Vu que xi=k*xi, tu peux passer des kilomètres en miles sans être inquiété.

Un érudit pourrait-il nous éclairer ?

Les grandeurs physiques sont aussi exprimées par des nombres, mais elles ont en plus une unité, qui est liée à leur dimension (longueur, masse, temps...). Si t'as une vitesse de 5 m/s par exemple, et que tu changes ton système d'unité en exprimant les longueurs en pouces et les temps en la durée d'un sablier étalon, le 5 va changer, mais la dimension va demeurer.

Quand t'as une grandeur sans dimension, elle n'a pas d'unité. Par exemple parce que c'est un rapport entre deux grandeurs de même dimension (la densité par exemple, c'est le rapport de la masse volumique de ce que tu considères sur la masse volumique de l'eau) : les unités se "simplifient". Du coup tu peux choisir le système d'unités que tu veux, ta grandeur sans dimension sera la même. Donc oui fondamentalement c'est pas très différent d'un nombre, qui ne change pas en fonction du système d'unité.

Enfin le mieux c'est de poser la question à ton prof, il t'expliquera ça mieux que moi qui ne suis pas physicien.

Merci de tes explications claires et concises, c'est très agréable à lire. Bonne soirée !

Je trouve que c'est bien résumé Prau

Quand tu parles d'une grandeur physique, il y a forcément une unité (sauf les trucs à la con genre les moles qui sont en réalité des rapports, où l'on quotiente dans le but d'adimensionner).
Quand tu parles de vitesse, tu ne dis pas "machin à une vitesse de 8".
8 quoi ? Km/h ? m/s ? Mph ? On sent bien qu'en fonction du système d'unité, la valeur change.

Et bien un nombre sans dimension, c'est un nombre qui n'a pas d'unité. Cad invariants par changement de système d'unité, ou même d'échelle par exemple.

Par exemple en mécanique des fluides, on utilise notamment le nombre de Reynolds, un nombre sans unité qui représente le rapport du transfert par convection au transfert par diffusion de la quantité de mouvement, ou bien V*L/mu.
Avec la formule, on voit bien par le produit V*L que ce nombre est lié à la taille et à la vitesse.

Or ce nombre sans dimension, décrit le "type" d'écoulement (turbulences ou non), quelque soit le système d'unité choisi (car nombre sans dimension).
Autrement dit, la règle sur les turbulences reste universelle, et on peut quantifier les turbulences (je vulgarise hein calmos les puristes ) par une même grandeur, que l'on parle en m/s ou en pouces/heures.