Bonsoir,
j'arrive pas à me représenter que ces assertions sont équivalentes :

Vx(P(x)=>Q) = (ExP(x))=>Q

et

Ex(P(x)=>Q) = (VxP(x))=>Q

P dépend de x et Q n'en dépend pas.
V c'est pour tout et E il existe.

Quelqu'un pour tenter de m'expliquer, me donner un exemple concret ?
Merci d'avance

la bise

Un exemple concret ça risque d'être difficile, c'est surtout des trucs pour te faire manipuler les connecteurs logiques, pas des vraiment des propriétés fondamentales qui se retrouvent partout peut être que quelqu'un avec plus d'imagination que moi peut essayer d'en inventer.

Mais essaye déjà de prouver ces deux équivalences par double-implication. Les deux sens de gauche à droite sont assez intuitifs. Le premier sens droite-gauche est pas dur non plus, et le second est un peu plus corsé (faut faire un raisonnement par l'absurde ; et il ne marche que si l'ensemble où habite x est non-vide).

je suis pas convaincu..
si quelqu'un a une autre représentation je veux bien l'entendre

Pour le premier la condition de gauche est une collection d'implications P(x_i)=>Q. En d'autres termes, n'importe quel P(x_i) implique Q. C'est la condition de droite.

Le deuxième est plus bizarre par contre

L'implication droite => gauche du deuxième est incompréhensible pour moi en fait : si la conjonction des P(x_i) implique Q, alors Q est impliqué par un unique P(x_i) ?

Le 20 septembre 2016 à 14:17:00 Simplistique a écrit :
je suis pas convaincu..
si quelqu'un a une autre représentation je veux bien l'entendre

Je répondais pas (encore) à ta question en fait, je voulais que tu me dises si parmi les quatre implications, y'en a certaines qui te paraissent intuitives, d'autres non, lesquelles te bloquent, etc Histoire d'avoir un truc sur lequel rebondir, là dans le vide je sais pas trop quoi raconter.

Morphisme C'est un genre de principe des buveurs, si jamais t'en as déjà entendu parler.
Il s'énonce : ∃x. P(x) ⇒ (∀x. P(x))
Ou en français, avec P(x) = "x boit", ça dit que "dans un bar (non-vide), il existe un individu tel que si il boit, alors tout le monde boit."
Preuve :
- Soit tout le monde boit, dans ce cas-là n'importe quel individu vérifie la propriété.
- Soit il existe quelqu'un qui ne boit pas, dans ce cas-là on le choisit, et comme la prémisse n'est pas vérifiée, l'implication est vraie.

Pour le sens droite-gauche du truc de l'auteur, c'est pareil, tu peux faire une disjonction sur ∀x.P(x), ou bien raisonner par l'absurde. J'ai pas trop d'intuition à donner à part réfléchir longuement à la preuve et se convaincre qu'il y a pas d'arnaque

pour la deuxieme:

• Ex(P(x)=>Q) => (VxP(x))=>Q

<=> [Ex(P(x) => Q) & Vx P(x)] => Q (c'est general a savoir A => (B => C) <=> (A & B) => C qui se lit si j'ai A alors si j'ai B alors j'ai C qui est bien equivalent a si j'ai A et B alors j'ai C)
aussi il suffit de montrer cette deniere implication
soit y tq P(y) => Q on a de plus P(y) vrai donc on a P(y) & (P(y) => Q) et donc P(y) (regle generale (A & A => B) => B qui se lit si j'ai ( A et si j'ai A j'ai B) alors j'ai B, ca s'appelle modus ponen me semble t'il)

• Ex(P(x)=>Q) <= (VxP(x))=>Q

alors la on distingue 2 cas:
cas 1 VxP(x) dans ce cas la on a Q et est choisissant un x quelquonque on a bien l'implication P(x) => Q vrai (vrai => vrai est vrai)
cas 2 on a pas Vx P(x) alors Ey tq non P(y) alors P(y) => Q (car P(y) faux et faux => nimportnawak toujours vrai) donc Ex(P(x) => Q) vrai (en prenant x = notre y explicite precedement) donc l'implication initiale de type (vrai ou faux on s'en fout) => vrai qui est toujours vrai)

je ne garantie pas la justesse

AlphaCygni Ok c'est plus clair du coup