Salut
Je dois calculer cette limite en +oo :
n² ( 1 - cos (2/n) )

j'aimerai faire un encadrement mais je ne sais pas comment à cause du quotient
merci

1-x^2/2 < cos x < 1 - x^2/2+x^4/24 pour x positif proche de zéro je crois

s'il pose cette question je doute qu'il ait entendu parler des équivalents
mais bon à la limite il peut le prouver

D'où vient ? 1 - x^2/2+x^4/24

Perso j'avais fait ça :

-1 =< - cos (2/n) <= 1

0 =< 1 - cos (2/n) =< 2

et du coup avec le n², je me retrouve avec +oo

PS : c'est un exo de TD que j'ai la semaine pro. Le prof nous a mis dans son cours :
n² * (1-cos(1/n)) tend vers 1, mais c'est tout

Bah fait une étude de fonction tu verras.
Ou alors intègre cos par partie en faisant apparaître un polynôme (une primitive de 1 c est t, puis t^2/2 puis t^3/6 puis t^4/24... curieux... )

Quel niveau ?
Avec un développement limité le résultat est immédiat

Sinon a la limite il fait apparaître une dérivée seconde en cos(1/n) mais ça revient à faire ce que j ai dit

Le 15 septembre 2016 à 18:19:56 South_Killer a écrit :
Quel niveau ?
Avec un développement limité le résultat est immédiat

première année DUT

la limite vaut 2 en -infini et +infini

ton prof a du le démontrer que n^2(1-cos(1/n) tend vers 1 non ? si oui inspire toi de sa preuve

enfin il suffit juste de faire le changement de variable qui va bien si tu peux directement utiliser ce résultat

En posant x = 1/n , on cherche la limite en 0 de (1-cos(2x))/x²

or cos(2x) = 1-2sin²(x), donc la limite est celle de 2sin²(x)/x² = 2 [(sin x)/x]² et sin x / x tend vers 1 en 0 donc le tout vers 2

n² * (1-cos(1/n)) tend vers 1/2 et non 1, c'est une faute de frappe.

Par contre il ne l'a pas démontré, il a considéré que c'était une limite à connaître

si tu dois la connaître j'imagine que t'es en drlkt de l'appliquer, donc tu peux faie le chgt de variable p= 2n pour te retrouver avec du cos(2/n)

droit* faire*

ok merci