Soit | |' une norme sur l'ensemble des fonction de R dans R bornees. A t'on forcement fn -> f via | |' =>
1) fn -> f via | |oo
2) les limites sont les memes pour les 2 normes

?

je lirais les reponses demain

Si tu prends || f || = intégrale de f sur [-1,1] par exemple.

Et f_n(x) = n si x = 0, et 0 partout ailleurs.
On a || f_n || = 0 donc (f_n) converge vers 0 au sens de || . ||.
Mais || f_n ||_oo = n donc (f_n) diverge au sens de || . ||_oo.

Prauron, t as une semi norme et non une norme ici non?

Ce pseudo

Oui en effet... Faut quotienter par la relation d'égalité presque partout. Mais du coup la norme infini vaudra 0 aussi hmm...

C'est de toute évidence faux

Exemple : tu considères une suite quelconque (f_n) de vecteurs linéairement indépendants qui ne converge pas au sens de la norme inf.
Tu complètes la famille {n*f_n} en une base B et tu définis N1 comme la norme 1 sur B.
Vu que N1(f_n)=1/n, (f_n) tend vers 0 au sens de N1.

Le 17 septembre 2016 à 05:33:06 Morphisme a écrit :
C'est de toute évidence faux

Exemple : tu considères une suite quelconque (f_n) de vecteurs linéairement indépendants qui ne converge pas au sens de la norme inf.
Tu complètes la famille {n*f_n} en une base B et tu définis N1 comme la norme 1 sur B.
Vu que N1(f_n)=1/n, (f_n) tend vers 0 au sens de N1.

desole, j'ai pas compris, qq eclaircisment:

• quand tu dit norme 1 c'est integrale |f| (t'aurais pas le droit, elle est pas definie et c'est pas une norme) ou c'est sur ma base je prend une norme tq tout les vecteur sont de norme 1
• dans le 2eme cas t'as l'air d'utiliser un resultat que je ne connais pas, a savoir (corrige moi s'il faut) que soit E un espace vectoriel, B base de E, il existe une norme tq chaque vecteur de la base soit de norme 1 (ya du procede d'ortho )

c'est évidemment faux, mais c'est chiant de fabriquer un contre exemple

Quand je dis "norme 1 sur B" il n'y a pas du tout d'intégrale (de toute façon là tu ne peux pas définir d'intégrale en l'état vu que c'est l'espace de toutes les fonctions bornées). C'est simplement : étant donnée une base B d'un ev, tout vecteur x se décompose de façon unique comme une combinaison linéaire finie de vecteurs de B (de la forme somme des x_ib_i), et tu définis N1(x)=somme des |x_i|. Tu vérifies facilement que c'est une norme.
J'ai utilisé implicitement le théorème de la base incomplète, qui te dit que tu peux compléter une famille libre en une base de l'espace. C'est valable dans tout ev (en admettant le lemme de Zorn/l'axiome du choix).

Ben pas vraiment en fait. On a furieusement envie de prendre une norme intégrale, si ce n'est que des esprits chagrins vont dire que gnagnagna ça converge pas. Pas grave, on découpe $\mathbb{R}$ en une infinité dénombrable d'intervalles, avec un peu de recouvrement histoire d'éviter les problèmes ponctuels (genre, mes premiers intervalles seront $[0,2], [1,3], [2,4]$ etc). Ensuite, on utilise la méthode usuelle pour fabriquer une norme à partir d'une famille dénombrable de semi-normes : on écrit une série. Et pour tuer les problèmes de convergence, on ajoute un poids $2^{-n}$ devant la n-ème intégrale.

La propriété 1) est joyeusement violée (à coups de pics), mais on remarquera que la convergence en norme infinie implique la convergence pour cette norme un peu débile.

Le 17 septembre 2016 à 10:52:38 Morphisme a écrit :
Quand je dis "norme 1 sur B" il n'y a pas du tout d'intégrale (de toute façon là tu ne peux pas définir d'intégrale en l'état vu que c'est l'espace de toutes les fonctions bornées). C'est simplement : étant donnée une base B d'un ev, tout vecteur x se décompose de façon unique comme une combinaison linéaire finie de vecteurs de B (de la forme somme des x_ib_i), et tu définis N1(x)=somme des |x_i|. Tu vérifies facilement que c'est une norme.
J'ai utilisé implicitement le théorème de la base incomplète, qui te dit que tu peux compléter une famille libre en une base de l'espace. C'est valable dans tout ev (en admettant le lemme de Zorn/l'axiome du choix).

ah oui c'est bon, je comprenais pas le N1 sur B