Salut !

Voici un petit exo sympa donné par mon prof de prepa

On prend a,b,c trois réels de ]0,1[ tel que a + b + c = 1

Montrer que a/1-a + b/1-b + c/1-c ≥ 3/2

Je sais pas trop par ou démarrer, si vous avez des idées je suis preneur !

Merci

PARENTHESES

Elles se devinent facilement

Le 08 septembre 2016 à 18:17:28 Sheryos a écrit :
Elles se devinent facilement

Non.

ben si quand même
sinon ça donne 0>=3/2 donc bon

$$\begin{align}\sum_{\text{cyc}} \frac{a}{1-a}
&= \sum_{\text{cyc}} \left(\frac{1}{1-a} -1 \right) \\
&=3 \left(\frac 13 \sum_{\text{cyc}} \left( \frac{1}{1-a} \right) \right)- 3\\
&\geq 3\left( \frac{3}{\sum_{\text{cyc}} (1-a)} \right)- 3\\
&= \frac{9}{3-1} - 3\\
&= \frac 32
\end{align}$$

J'ai utilisé uniquement l'inégalité entre moyenne arithmétique et moyenne harmonique à trois termes

c'était censé être difficile ?

perso j'ai essayé moyenne harmonique, de changer 1-a en b+c etc mais la flemme de continuer de chercher, bonne chance

Il te l'a donné par rapport à quel chapitre ? (Je me souviens avoir croisé cet exo pendant que je révisais de la proba je pense)

En fait sur l'énoncé tel quel y'a pas de parenthèses mais c'est des fractions

1/(1-a) + b/(1-b) + c/(1-c)

Je suis en Maths Spé et on est sur les espaces vectoriels normés donc avec normes suites fonctions bornées applications lipschitziennes etc

Cet exo est dans un DM et il est posé tel quel j'avoue que j'ai été aussi surpris

Spf1 merci pour ta réponse je viens de voir le rendu latex

Le cyc sous la somme signifie que tu appliques la somme à la variable a, puis b puis c ?

Ah
T'as une façon de faire moins élégante qui consiste à remarquer que la dérivée de x/(1-x) est croissante sur ]0,1[ donc que tu vas minimiser ta quantité lorsque a=b=c

Salut Morphisme ta réponse m'a l'air plus dans le thème oui je vais tenter ça

Salut, petit retour sur cet exo je n'arrive pas bien à comprendre la minoration faite par Spf1 sur son code latex dont voici la traduction

Si quelqu'un a une explication plus précise je suis preneur, merci !

Okep j'ai la réponse à ma question, il existait une inegalite dont j'avais oublié l'existence qui dit que la moyenne arithmetique est plus grande que la moyenne harmonique..

On a donc le résultat