Bonjour,

Une nuance m'échappe, si le déterminant est multilinéaire, pourquoi multiplier une de ses colonnes par une combinaison linéaire d'une autre ne change pas ça valeur ?

La fonction det :
det : (c1 , ... , cn) -> det(c1 , ... , cn)
E1,...En->R
("c" sont les vecteur colones, "E" les espaces vectoriels associés)

Par def la multilinéarité correspond à ceci :
Soit les indices "i" et "x" entier naturels quelconque compris entre 1 et n.
det( c1 , ... , A*ci+B*cx , ... , cn ) = A*det( c1, ... , ci , ... , cn ) + B*det( c1, ... , cx , cn)

Mon problème :
Du coup normalement multiplier une de ses colonnes par une combinaison linéaire d'une autre nous donne :
det( c1 , ... , ci+B*cx , ... , cn ) = det( c1, ... , ci , ... , cn ) + B*det( c1, ... , cx , cn) =/= det( c1, ... , ci , ... , cn )

A priori la valeur devrait changer (à moins que B*det( c1, ... , cx , cn) soit nul). Je sais bien qu'elle ne change pas, je dois donc faire erreur quelque part. Quelqu'un pourrait corriger mon erreur ? Un problème dans la définition de la multilinéarité ?

Justement le B*det() est nul car cx va y apparaître deux fois et le déterminant est une forme alternée.

Le 24 août 2016 à 15:32:07 Morphisme a écrit :
Justement le B*det() est nul car cx va y apparaître deux fois et le déterminant est une forme alternée.

Je vois merci, puisque c'est une forme alternée donc on a bien en ayant alterné cx avec le nouveau cx : det( c1 , ... , cx, ... , cx , cn) = -det ( c1 , ... , cx, ... , cx , cn) qui est alors nécessairement nul'.

Merci, pour la réponse rapide !