Hello !

J'ai des questions en maths.

Déjà, pour la continuité :

Définition — Soient I un intervalle réel, ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ une fonction définie sur I à valeurs réelles et ${\displaystyle a\in I}$.

La fonction f est dite continue en a si :

$${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \eta >0\quad \forall x\in I\quad \left({\Big [}|x-a|<\eta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon {\Big ]}\right).} $$

Cette définition est la plus utilisée, mais pourquoi ne pas tout simplement utiliser la définition de l'égalité des limites en a "à gauche" et "à droite" ? Qu'est-ce qui lui manque ?

Pour les complexes :

C'est un petit problème qu'on m'a posé, et je ne sais pas quoi en dire

$$1=1^{\frac{1}{2}}=(e^{i2\pi })^{\frac{1}{2}}=e^{i\pi }=-1$$

Vraisemblablement y'a un problème

Merci d'avance

Qu'est-ce qui lui manque ?

La définition formelle se généralise immédiatement à plusieurs dimensions et à d'autres contextes que les fonctions réelles, alors que les notions de limite à gauche/droite n'ont pas d'analogue intéressant en dehors de la droite réelle.

et je ne sais pas quoi en dire

La racine (en fait, tout le problème vient du logarithme) n'est pas définie de manière univoque sur $\mathbb{C}$, donc le deux égalités du milieu devraient, par exemples, être remplacées par des appartenances, au sens où "1 et -1 appartiennent à l'ensemble des racines carrées de 1". M'fin bon, même cette solution n'est pas très satisfaisante, c'plus une rustine qu'autre chose pour cette suite d'égalités tricheuses.

(a^b)^c = a^(b*c) n'est valable que pour a positif (et b et c réels)

Merci Hachino !

Donc en gros, c'est juste que la 2ème définition est adaptée à R, mais pas trop à des ensembles étendus ?

C'est bien ce que je pensais, la racine marche pas directement :p

Le 22 août 2016 à 15:01:53 MecaQ a écrit :
(a^b)^c = a^(b*c) n'est valable que pour a positif (et b et c réels)

là je dirais plutôt que c'est l'utilisation de la formule de De Moivre pour une puissance non entière qui pose pb

Le 22 août 2016 à 20:34:47 skywear a écrit :

Le 22 août 2016 à 15:01:53 MecaQ a écrit :
(a^b)^c = a^(b*c) n'est valable que pour a positif (et b et c réels)

là je dirais plutôt que c'est l'utilisation de la formule de De Moivre pour une puissance non entière qui pose pb

Oui, je pense aussi. C'est assez confus de venir parler de "a positif" quand on travail avec des complexes en plus

Cette définition est la plus utilisée, mais pourquoi ne pas tout simplement utiliser la définition de l'égalité des limites en a "à gauche" et "à droite" ?

Même en restant dans le cadre réel, définir la continuité en parlant de limite c'est juste éluder le problème puisqu'il faut définir la notion de limite et là tu retombes sur une définition epsilonesque.

Il n'est pas nécessaire d'adopter l'epsilon pour parler de continuité et de dérivabilité. On peut adopter une approche topologique, ou plus simplement, l'approche "unlimited" qui ne nécessite qu'une relation d'ordre propre et qui est très proche de l'intuition, comme décrit dans l'excellent PDF suivant :

http://authors.library.caltech.edu/25054/1/CalcUnlimited.pdf

Si la question de "est-ce qu'il faut se passer de l'epsilon" est plutôt philosophique, le fait de pouvoir s'en passer montre bien que les maths ne sont pas figées.

Merci pour ces réponses !

Donc on part sur l'erreur au passage 1=e^i2pi ?

Prauron Ah bah oui, vu comme ça, c'est un cercle vicieux x)

Je sais bien Jooord, mais j'allais pas lui parler de continuité dans un espace topologique abstrait, ça n'aurait servi qu'à l'embrouiller.

IDratui si ça t'amuse, essaye d'imaginer une extension de lR (de la même manière que les complexes) en posant un nouveau nombre e (lire epsilon) tel que e non nul mais e² = 0
Tu peux définir une partie réelle et une partie "epsilonesque", en gros des nombres qui s'écrivent de la forme a+eb avec a b réels.

Ensuite tu peux essayer de calculer et décomposer f(a+e) pour a réels quelconques et f une fonction usuelle (tu peux essayer des polynômes ou des fractions rationnelles par exemple ) et regarder ce qui apparaît dans la partie epsilonesque.

Tu pourras aussi remarquer qu'une fonction sera continue en un point a de lR si f(a+e)-f(a) a une partie réelle nulle

Malheureusement on m'avait donné un poly en TS dessus pour me faire réfléchir mais je l'ai perdu.
Bref des trucs marrants que tu peux manipuler en Terminale qui découlent d'une autre façon de construire la continuité/dérivabilité (cf les nombres standards)

Le 22 août 2016 à 23:05:14 Prauron a écrit :
Je sais bien Jooord, mais j'allais pas lui parler de continuité dans un espace topologique abstrait, ça n'aurait servi qu'à l'embrouiller.

Sans parler de topologie, l'approche "unlimited" est de même niveau que ce qu'on enseigne au lycée. Cela dit, je n'avais pas pour but que de te contredire mais juste montrer que ces définitions epsilonesques sont un artifice et non pas une nécessité, ce que les non-standardistes ont bien compris.

limitx L'exemple de créer une extension de R n'est pas bête Mais c'est astucieux, et ça me serait jamais venu :p

Jooord J'essaie de lire le PDF, mais 246 pages c'est une lutte :p

Le 22 août 2016 à 23:07:45 limitx a écrit :
IDratui si ça t'amuse, essaye d'imaginer une extension de lR (de la même manière que les complexes) en posant un nouveau nombre e (lire epsilon) tel que e non nul mais e² = 0
Tu peux définir une partie réelle et une partie "epsilonesque", en gros des nombres qui s'écrivent de la forme a+eb avec a b réels.

Ensuite tu peux essayer de calculer et décomposer f(a+e) pour a réels quelconques et f une fonction usuelle (tu peux essayer des polynômes ou des fractions rationnelles par exemple ) et regarder ce qui apparaît dans la partie epsilonesque.

Tu pourras aussi remarquer qu'une fonction sera continue en un point a de lR si f(a+e)-f(a) a une partie réelle nulle

Malheureusement on m'avait donné un poly en TS dessus pour me faire réfléchir mais je l'ai perdu.
Bref des trucs marrants que tu peux manipuler en Terminale qui découlent d'une autre façon de construire la continuité/dérivabilité (cf les nombres standards)

Le 23 août 2016 à 12:22:32 barbubabytoman a écrit :

Le 22 août 2016 à 23:07:45 limitx a écrit :
IDratui si ça t'amuse, essaye d'imaginer une extension de lR (de la même manière que les complexes) en posant un nouveau nombre e (lire epsilon) tel que e non nul mais e² = 0
Tu peux définir une partie réelle et une partie "epsilonesque", en gros des nombres qui s'écrivent de la forme a+eb avec a b réels.

Ensuite tu peux essayer de calculer et décomposer f(a+e) pour a réels quelconques et f une fonction usuelle (tu peux essayer des polynômes ou des fractions rationnelles par exemple ) et regarder ce qui apparaît dans la partie epsilonesque.

Tu pourras aussi remarquer qu'une fonction sera continue en un point a de lR si f(a+e)-f(a) a une partie réelle nulle

Malheureusement on m'avait donné un poly en TS dessus pour me faire réfléchir mais je l'ai perdu.
Bref des trucs marrants que tu peux manipuler en Terminale qui découlent d'une autre façon de construire la continuité/dérivabilité (cf les nombres standards)

Je vois à ta signature que tu dois être un spécialiste du domaine

Dommage que tu aies perdu le poly ça m'intéressait