Salut !
J'avais supprimé mon autre topic mais je le remet ici

C'est l'exercice 10 page 15 de ce site :
http://louislegrand.org/images/stories/documents/EXOS-TERMINALE.pdf

L'énoncé : ( quand j'écris [x] c'est partie entière de x)
La suite (Un)n≥0 est définie par U0 = 1 et :
∀n ∈ N∗, Un = U[n/2] + u[n/3] + U[n/6].
a) Montrer :
∀n ∈ N, Un ≥ n + 1.
b) Trouver C > 0 tel que :
∀n ∈ N, Un ≤ C(n + 1) "

Pour la a) où je bloque j'ai essayé la récurrence forte
Soit la proposition Pn pour n dans N tel que
Un >= n+1
Pour n = 0 P0 est vraie
Soit n dans N et supposons Pk vraie pour tout k appartenant à {0,...,n} on a
Un+1 = U[(n+1)/2] + u[(n+1)/3] + U[(n+1)/6].
Or chacun des [(n+1)/2], [(n+1)/3], [(n+1)/6] appartiennent à {0,..,n} donc par hypothèse
Un+1 >= [(n+1)/2] + 1 + [(n+1)/3] + 1 + [(n+1)/6] + 1
Et il manque que je dois montrer que [(n+1)/2] + [(n+1)/3] + [(n+1)/6] + 3 >= n+2 mais le max que je puisse faire c'est :
[(n+1)/2] + 1 >= (n+1)/2 et pareil pour les autres donc j'ai finalement :
[(n+1)/2] + [(n+1)/3] + [(n+1)/6] + 3 >= (n+1)/2 + (n+1)/3 + (n+1)/6 >= n+1 du coup je suis baisé

C'est trivial, même pas j'y touche je me respecte vois-tu.

à mon humble avis, ton initialisation doit être faite pour n=1,2,3,4,5,6 et ça sera beaucoup plus simple

Déjà, petit conseil esthétique : ta récurrence forte, écris-la sur $n$ au lieu de $n+1$, ce sera moins chiant à lire. À part ça, y'a une méthode brutale qui consiste à considérer les six restes possibles modulo 6 et voir ce que donne ta minoration dans chaque cas.

Genre, si je prends un truc pas trivial : supposons $n = 6k + 5, k \in \mathbb{N}$. On a alors (note que j'écris tout en $n$)

$$\left \lfloor{\frac{n}{2}}\right \rfloor + \left \lfloor{\frac{n}{3}}\right \rfloor + \left \lfloor{\frac{n}{6}}\right \rfloor + 3 = (3k + 2) + (2k + 1) + k + 3 = 6k + 6 = n+1.$$

Plus que cinq autres, haut les coeurs !

Edit : Ou alors, comme suggéré par Cicatrice, une récurrence d'ordre 6, ça a l'air vachement plus simple.

Ah ouais pas con cicatrice, j'avais fait la méthode de brute perso

Sinon j'ai un doute sur la rédaction, comment on fait hachino ?

Ah mais au fait ça revient au même

Ok mais les seules récurrences que je connais c'est celles de terminales avec 1 terme voire 2 à l'initialisation, vous pouvez m'aider à faire la récurrence à 6 termes ?
Initialisation :
bon admettons que j'ai vérifié de U0 à U5 et ça marche
Hérédité :
Supposons n dans N tel que Pk soit vraie pour tout k de {n-6,...,n-1} alors
Un = U[n/2] + U[n/3] + U[n/6] mais je vois déjà pas quoi faire vu que je peux rien conclure si [n/2] etc font partie de {n-6,...,n-1} ..

Sur le lien que j'ai passé ils donnent des exemples de rédaction si tu veux

Tu l'as réussi cet exo ff3 ?
Ça fait au moins 15 minutes que j'y suis j'ai pas trop avancé pour l'instant

Benbe >> fais plutot une disjonction de cas je pense

Bahar >> la 1 oui, mais la 2 j'y ai passé une bonne demi heure quand j'ai commencé le poly , mais rien du tout Quand je finis le poly je retente.

Sinon c'est correct de chercher a montrer p (n):"pour tout k entier entre 0 et n, u_k>=n+1" ?
Que du coup tu sais que c'est vrai pour les u_|(n+1)/2| et tout ca dans la transmissibilité

Sauf que c'est pas vrai ta propriété

J'ai bien une idée mais bon..
On peut remarquer que pour tout k entier on a :

U(6k) = U(6k+1) et U(6k+4) = U(6k+5)
Et on pourrait montrer que chaque croissance de Un est supérieure à 1, mais franchement..

Tu trouves que ton $C$ a une gueule de constante ?

Le 18 août 2016 à 21:13:50 GhostlnTheShell a écrit :
Sauf que c'est pas vrai ta propriété

Oui c'est u_k>=k+1 en effet
Je galère deja beaucoup a tapé ces trucs la sur mon tel

Ah remarque ça tient débout mon idée non ?

Le 18 août 2016 à 21:15:52 Hachino a écrit :
Tu trouves que ton $C$ a une gueule de constante ?

Bah je pensais que c'était implicite, en classe j'ai majoré une suite en fonction de n, je me suis fait chier dessus

Le 18 août 2016 à 21:16:19 Shadockmagique a écrit :

Le 18 août 2016 à 21:13:50 GhostlnTheShell a écrit :
Sauf que c'est pas vrai ta propriété

Oui c'est u_k>=k+1 en effet
Je galère deja beaucoup a tapé ces trucs la sur mon tel

Oui c'est ce qu'il faut faire au fait

Le 18 août 2016 à 21:15:37 Bahar a écrit :
J'ai bien une idée mais bon..
On peut remarquer que pour tout k entier on a :

U(6k) = U(6k+1) et U(6k+4) = U(6k+5)
Et on pourrait montrer que chaque croissance de Un est supérieure à 1, mais franchement..

Ca marche très bien avec une disjonction des cas la 1)

Bah je pensais que c'était implicite, en classe j'ai majoré une suite en fonction de n, je me suis fait chier dessus

Je parlais à Benbe, un peu plus haut, sa "constante" dépend furieusement de $n$.

Mais bien sur que ça tient débout

U(0) = 1 et U(1)=3, donc chaque croissance de Un est forcément supérieure au égale à 2.
Et comme Un reste constante seulement deux fois par cycle de 5, alors c'est bon
Par contre par la rédaction..

Le 18 août 2016 à 21:20:09 Hachino a écrit :

Bah je pensais que c'était implicite, en classe j'ai majoré une suite en fonction de n, je me suis fait chier dessus

Je parlais à Benbe, un peu plus haut, sa "constante" dépend furieusement de $n$.

Ah autant pour moi

U(0) = 1 et U(1)=3, donc chaque croissance de Un est forcément supérieure au égale à 2.

Ta conclusion est un peu rapide je trouve

Fais une dijonction des cas