Soit Ω un univers fini et P une probabilité sur Ω.
Soient A et B deux événements quelconques de cet univers. Montrer que
P(A)P(B) − P(A ∩B) =< 1/4

j'ai p(b) =< 1 donc p(a)*p(b) =< p(a)
et aussi -1/4 < 0 et 0<p(b) d'où p(a)*p(b) -1/4 =< p(a) + p(b)
et là ce qui me manque c'est -p(aUb) à droite comme ça je simplifierais en p(a∩b) et je retrouve l'inégalité mais je suis bloqué

C'est bien de faire un dessin. On note Xc le complémentaire de X dans Omega et x=p(A inter B), y= P(A inter Bc), z=P(Ac inter B) et u=P(Ac inter Bc). Ces quatre nombres somment à 1 (et sont positifs ou nuls).
La quantité à majorer est (x+y)(x+z)-x=x(x+y+z-1)+yz=yz-ux<=yz.
Reste à majorer le produit de 2 réels positifs dont la somme est inférieure à 1 par 1/4.

Si $s := P(A)P(B) \leq \frac{1}{4}$, le résultat est évident. Sinon, soit $p := P(A)$. Notons qu'on a alors, avec ces paramètres, $P(B) = \frac {s}{p}$. Grâce à la formule de l'union, on réécrit la quantité intéressante, qu'on appellera $Q$ sous la forme

$$Q = s + P(A \cup B) - p - \frac{s}{p}. (1) $$

Pour la proba de l'union, on peut pas tellement faire mieux que de majorer par $1$, vu qu'on a aucune info sur le recouvrement de $A$ et $B$. Ensuite, en voyant l'équation $(1)$ comme une fonction de $p$ à $s$ fixé, on majore (après une rapide étude de fonction) par la valeur en $p = \sqrt{s}$, ce qui donne

$$Q \leq s + 1 - 2\sqrt{s}. $$

Ensuite, en remarquant que cette borne est décroissante en $s$ et que l'on a supposé $s \geq \frac{1}{4}$, on majore cette fois par la valeur en $s = \frac{1}{4}$, ce qui donne finalement

$$Q \leq \frac{1}{4} + 1 - 1 = \frac{1}{4} $$

comme voulu. Bref, c'était un exo d'analyse, mis à part la formule plus haut on n'en a rien à foutre des probas.

(Bon ok, la solution de Morph' est plus élégante et plus courte, je m'incline. )

T'as pas un peu abusé avec les notations ?

Perso j'ai fait ça :

On pose C= AnB
Ainsi , p(A)*p(B)-p(AnB) = (p(A\C)+p(C))*p(B)-p(C)

= p(A\C)*p(B)+p(B)*p(C)-p(C)

Or (A\C)nB=ø
Ainsi p(A\C)<=1-p(B)
D'ou p(A\C)*p(B)+p(B)*p(C)-p(C) <= (1-p(B))*p(B)+p(C)(p(B)-1)
<= (1-p(B))(p(B)-p(C))<= (1-p(B))p(B)

Après avec une étude de fonction on trouve que le maximum de la fonction x(1-x) est de 1/4 , CQFD

T'as pas un peu abusé avec les notations ?

Je vois pas ce qui te fait dire ça.

$Q = s + P(A \cup B) - p - \frac{s}{p}. (1)$

"Reste à majorer le produit de 2 réels positifs dont la somme est inférieure à 1 par 1/4."
Comment j'ai galéré mine de rien !

i : a+b < 1 alors (a+b)^2 < 1 et on a a^2 + b^2 + 2ab < 1
ii : 0 < (a-b)^2 alors 2ab < a^2 + b2 donc en sommant 2ab à chaque membre 4ab < a^2 + b^2 +2ab < 1 donc ab < 1/4

Merci de vos aides <3

$Q = s + P(A \cup B) - p - \frac{s}{p}. (1)$

Le premier degré c'est le mal, mon enfant.

Le 19 août 2016 à 16:45:33 Hachino a écrit :

$Q = s + P(A \cup B) - p - \frac{s}{p}. (1)$

Le premier degré c'est le mal, mon enfant.

Le premier degré c'est le mal, mon enfant.

Tu pouvais aussi remarquer que yz <= y(1-y) <= 1/4, la dernière inégalité résultant d'une étude simple de fonction