Considérons un espace propre E de f. Sur cet espace, on a f = a*Id pour un certain a € R, donc f^3 = a^3*Id. Comme f^3 = g^3, en particulier, g^3 laisse stable E. Comme g est symétrique, g et g^3 laissent les mêmes sous-espaces stables.
On peut donc restreindre g à E et se ramener à chercher les racines cubiques symétriques de l'identité. En prenant une telle racine et en la diagonalisant dans une BON, on se ramène à un problème encore plus simple, qui est de trouver les racines cubiques réelles de 1. Ben ça tombe bien, y'en a pas beaucoup.
On conclut l'exo en se rappelant que les espaces propres de f engendrent l'espace tout entier.