Bonsoir à tous !
J'ai déduis d'après mon cours et mon TD que pour montrer une telle convergence il faut que

• par définition, dans l'espace considéré, P( lim Xn = X ) =1

• sinon, pour epsilon, la somme de P(|Xn - X| > epsilon ) converge

Cependant dans la plupart des exos j'ai du mal à vérifier ces deux choses.

Y a-t-il une autre façon de faire, plus pratique pour les exos ?
Par exemple ici: Mn = ( produit de 1 à n des Ui )^(1/n) avec Ui de loi uniforme sur ]0,1[
est censé converger presque sûrement vers exp(-1) mais je n'arrive pas à le montrer.
La seule chose que j'ai c'est que en posant X=-ln(U) j'ai calculé la fonction de survie de X et je trouve exp(-x) sur ]0,1[

Tkt pas c'est quelque chose de difficile que de montrer une convergence presque sûre mais heureusement on a de bons théorèmes

Mn est non nul p.s donc on s'intéresse à ln(Mn) = 1/n.somme(ln(Un))

Et ln(Un) est une suite de v.a iid intégrable (prouve le)

Donc d'après la loi forte des grands nombres ln(Mn) --> E[ln(U1)] = exp(-1)

Hum, j'espère que cette "loi forte des grands nombres" n'est pas du programme de TS au quel cas je suis dans la merde.

Le 13 juin 2016 à 23:21:48 IIIIIlllIII a écrit :
Hum, j'espère que cette "loi forte des grands nombres" n'est pas du programme de TS au quel cas je suis dans la merde.

Le 13 juin 2016 à 20:57:04 Jai4problemes a écrit :
Tkt pas c'est quelque chose de difficile que de montrer une convergence presque sûre mais heureusement on a de bons théorèmes

Mn est non nul p.s donc on s'intéresse à ln(Mn) = 1/n.somme(ln(Un))

Et ln(Un) est une suite de v.a iid intégrable (prouve le)

Donc d'après la loi forte des grands nombres ln(Mn) --> E[ln(U1)] = exp(-1)

Merci du conseil, moi j'avais pensé à regarder (Mn)^n mais j'avançais pas. Je test ça de suite

Alors par contre petite précision Jai4problemes:
ln(Mn) tend vers -1 et ensuite tu composes par l'exponentielle positive et tu obtiens le résultat

Le 13 juin 2016 à 23:21:48 IIIIIlllIII a écrit :
Hum, j'espère que cette "loi forte des grands nombres" n'est pas du programme de TS au quel cas je suis dans la merde.

Bien sûr que si c'est même une ROC

Par la LGN, ln(Mn) converge p.s. vers E[ln(U1)] = -1.
Donc par continuité de l'exponentielle (cf https://en.wikipedia.org/wiki/Continuous_mapping_theorem ), Mn converge p.s. vers exp(-1).

comment ça presque sûre ?

https://fr.wikipedia.org/wiki/Convergence_de_variables_al%C3%A9atoires#Convergence_presque_s.C3.BBre

merci

Le 14 juin 2016 à 22:23:24 skywear a écrit :
comment ça presque sûre ?

tu verras ça vite fait en spé

Tu joues à pile ou face.

Si tu joues une infinité de fois, pile tombera presque sûrement.

En d'autres termes, la probabilité que pile ne tombe jamais est quasi nulle.

Ce qui n'a pas énormément de rapport avec la convergence presque sûr Higgs :/

Bien sûr que si c'est même une ROC

Heureusement que non parce que c'est pas du tout trivial.

Ouais.