Hello
Je bloque sur un exo que voici :

Pour la question 1) j'ai trouvé : -x -ln(e^x +1) + cste

Mais pour la 2) je trouve un truc ultra long et je pense pas faire de la bonne manière, j'ai besoin d'aide

A(x) = -x + ln(1+e^x) - ln(2)

(F0) est de la forme y' + alpha(x)y = 0

Les solutions sont K*exp(-A(x)) (tu peux te débarrasser du ln(2), il passe dans le K).
Ce qui donne Ke^x/(1+e^x).

Peux-tu détailler comment tu as trouvé A(x) ? J'ai pas tout suivi :/

1/(1+e^t) = 1 - e^t/(1+e^t)
Une primitive de ça c'est t - ln(1+e^t). Pris entre 0 et x ça fait x - ln(1+e^x) + ln(2). Et après on remet le signe moins.

Ah oui je m'étais trompé au niveau des signes, merci

moi j'aurai plutôt multiplié par exp(-x) , pour retrouver une forme u'/u
et donc A(x)=ln(1+exp(-x))+cste

Les solutions ça serait pas plutôt Ke^x(x-ln(e^x+1)) ?

Non, c'est K*exp(-A(x)), pas K*e^x*(-A(x)).

J'ai finalement trouvé : y = K*e^x/(e^x+1) + arctan(x)

Ca me parait logique

Euh arctan est pas solution de (F).

Bah je trouve K'*e^x = e^x/1+x² (l'énonce)

Du coup je divise par e^x des deux cotés : K' = 1/1+x² qui est la primitive de arctan

Je comprends pas ton raisonnement. Tu essaies de faire une variation de la constante ?

En tout cas arctan n'est pas une solution de (F).
(e^x + 1)/(1+x²) - arctan(x) =/= e^x/(1+x²)

Oui je fais avec la variation de la constante

Mais du coup je comprends pas ton (e^x+1)/(1+x²) - arctan(x)

Ben je teste si arctan est solution.
Donc je calcule (1+e^x)y'(x) - y(x), avec y(x) = arctan(x).

J'ai pris une photo de ce que j'ai fait, dis moi si il y a quelque chose qui ne va pas

(j'ai effacé mon précédent message j'avais fait une erreur)

Oui ça c'est bon. Du coup ta solution particulière c'est e^(x)arctan(x)/(1+e^x).
Et donc l'ensemble des solutions c'est Ke^x/(1+e^x) + e^(x)arctan(x)/(1+e^x), K appartenant à R.
Et on peut factoriser par e^x/(1+e^x) si on veut.

Oui mais tu n'as pas multiplié C'g(x) par (e^x+1) d'où ton résultat différent :/

Oui j'avais pas divisé le second membre par 1+e^x, d'où mon erreur.

Bref, l'ensemble des solutions c'est e^x/(e^x + 1)* (K + arctan(x)).