Salut.

Je me retrouve face à un polynôme p(z) = z^8+z^4+1

On me demande 1) de le résoudre dans c et 2) de le factoriser en polynômes du second degré à racines réelles.

Pour le premier, c'est simple mais tellement long... En calculant le discriminant à chaque fois pour trouver les z^4 puis z^2 puis z, avec tous les carrés et racine carrées,
j'ai une page de calcul juste pour trouver z^4. Comment simplifier le probleme ?

Pour le second, j'ai pensé à faire un truc général avec des a et des b mais la réponse est le produit de 4 polynômes avec des nombres en coefficient de z.

Merci d'avance !

(z^2-z+1) (z^2+z+1) (z^4-z^2+1)

D'abord tu poses Z=z^4 et tu mets sous forme exponentielle ce sera alors plus facile de déduire les solutions.

Pour la 2) un polynôme qui a pour racines x1, x2,x3 etc... Peut s'écrire sous la forme a(x-x1)(x-x2)(x-x3)... Etc...

Après j'ai pas essayé je suis sur téléphone donc peut être que ça marche pas bien sinon t'as l'astuce de higgs

Le 05 juin 2016 à 17:13:58 Higgs a écrit :
(z^2-z+1) (z^2+z+1) (z^4-z^2+1)

Merci mais comment as-tu deviné ça ?

De tête

Comment tu fais pour faire ça de tête ? Je veux dire que tu peux faire des intégrales de tete, avoir les solutions d'un équation du second degré de tête, mais grâce à des formules avec lesquelles t'es habitué. Mais là ?

Wolfram

Une fois que t'as les racines complexes, tu peux les regrouper par paires, avec à chaque fois une racine et son conjugué. Ce qui donne (z-w)(z-conj(w)) = z² - 2Re(w) + |w|², ce qui est bien un polynôme du second degré à coefficients réels.

Ah oui j'avais mal compris la 2eme question

By brainstorming.

Le 05 juin 2016 à 17:37:44 Prauron a écrit :
Une fois que t'as les racines complexes, tu peux les regrouper par paires, avec à chaque fois une racine et son conjugué. Ce qui donne (z-w)(z-conj(w)) = z² - 2Re(w) + |w|², ce qui est bien un polynôme du second degré à coefficients réels.

Mais alors je dois quand même poser X=z^4, puis trouver le discriminant pour avoir un z^4=-b+"racine carrée d'un nombre complexe" puis simplifier pour virer la racine en posant z'^2=(x+iy)^2. Donc normalement j'aurais trouvé deux nombres complexes z1 et z2 qui sont égaux à z^4. Je devrais poser ensuite z^4 = (x+iy)^4 = z1^4 et z^4 = z2^4 pour enfin trouver z1 et z2 sous une forme x+iy ?
Pas moyen de simplifier le problème ?

Le 07 juin 2016 à 14:52:14 Trafagal a écrit :

Le 05 juin 2016 à 17:37:44 Prauron a écrit :
Une fois que t'as les racines complexes, tu peux les regrouper par paires, avec à chaque fois une racine et son conjugué. Ce qui donne (z-w)(z-conj(w)) = z² - 2Re(w) + |w|², ce qui est bien un polynôme du second degré à coefficients réels.

Mais alors je dois quand même poser X=z^4, puis trouver le discriminant pour avoir un z^4=-b+"racine carrée d'un nombre complexe" puis simplifier pour virer la racine en posant z'^2=(x+iy)^2. Donc normalement j'aurais trouvé deux nombres complexes z1 et z2 qui sont égaux à z^4. Je devrais poser ensuite z^4 = (x+iy)^4 = z1^4 et z^4 = z2^4 pour enfin trouver z1 et z2 sous une forme x+iy ?
Pas moyen de simplifier le problème ?

Je ne crois pas.

En vrai, le temps que tu as passé à te dire que c'était trop long et qu'i devait y avoir une méthode plus simple pour le faire était largement suffisant pour résoudre le problème avec ta méthode, et c'est pas si long que ça, pour que tu réfléchisses un peu :
Si tu poses Z = z^4, tu te rends compte que ton polynôme devient Z²+Z+1. C'est un polynôme très classique, ses racines sont exp(2i pi/3) et exp(4i pi/3) dont il est assez simple d'extraire les racines quatrièmes, sans gros calculs.

Cest des math de quel niveau sa ?

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