Salut.

Il est dit dans mon cours que l'équation d'une cycloïde est :

x = r(a) - r.sin(a)
y= r - r cos(a)

Seulement je ne comprends pas comment nous y sommes arrivés.

Merci d'avance !

Euh c'est une paramétrisation cartésienne ça.

c'est quoi r? une fonction? un paramètre?
si c'est un paramètre, c'est quoi r(a)?

ou alors tu as voulu écrire qqch du type x(a) = r*a - r * sin(a) = r*(a- sin(a)), et y(a) = r*(1-cos(a)) ? :

Oui c'est x(a) = r*(a - sin(a)) et y(a) = r*(1 - cos(a))
r c'est un paramètre (le rayon du disque qu'on fait rouler probablement)

le truc c'est que ça dépend en quoi c'est démontré si c'est en physique c'est de la cinématique, si c'est en maths je vois même pas en quoi y'a besoin d'une démo

Fais un dessin.
http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680Su09/Park/As10dspark/figure1.jpg
La cycloïde c'est la trajectoire d'un point P du bord d'un disque (de rayon r) quand on fait rouler celui-ci sur un plan.
Le paramètre a représente l'angle de rotation. Quand tu as tourné d'un angle a, le centre du disque a avancé de r*a sur l'axe (Ox), et n'a pas bougé sur l'axe (Oy). Ses coordonnées sont donc (r*a,0) dans le repère "fixe".
Maintenant pour trouver les coordonnées du point P dans ce même repère, il faut ajouter les coordonnées du point P dans le repère mobile.

Oops, je voulais écrire équations paramétriques.

Effectivement ça a été vu en math avec l'exemple d'une roue de vélo qui tourne dans le sens horlogique.

Je comprends le -r*sin(a) ( Car on prend a ayant comme départ -pi/2 j'imagine) mais le r*a je ne vois pas d'où il vient.

Suit on suit la figure de mon lien on tombe sur
x(t) = r(t + t*sin(t))
y(t) = r(1 + cos(t))
Mais c'est pareil, suffit de changer t en t + pi, ce qui correspond juste à une translation de l'origine de l'angle.

Le r*a c'est la distance horizontale parcourue par le centre de la roue. C'est aussi la longueur de l'arc de cercle qui a touché le sol, qui est obtenue en multipliant le rayon par l'angle en radians.

Donc en fait x = la distance parcourue quand l'angle a tourné d'une certaine amplitude + le rayon du cercle car le point est sur le cercle ?

Edit : Ah non vu que il y a du sin et pas du cos pour x...

Regarde ce dessin : http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680Su09/Park/As10dspark/figure2.jpg

La distance d c'est r*t (je note t pour theta).
Il faut lui ajouter la distance entre le centre du 2ème cercle, et l'abscisse de P', soit r*cos(pi/2 - t) = r*sin(t).
Et pareil pour y, à r il faut ajouterla distance entre le centre du 2ème cercle, et l'ordonnée de P', soit r*sin(pi/2 - t) = cos(t).

Maintenant si à l'origine tu places ton point en bas et non en haut, faut ajouter pi à l'angle, et donc tu fais sortir des signes - et on retrouve tes équations.

Ah d'accord. Mais au lieu de choisir t et faire pi/2 - t, on pourrait prendre l'angle complémentaire directement ?

Pour d = r*t. j'imagine que c'est quelque chose que je dois connaître et que je suis à la ramasse.

Oui peu importe comment tu choisis ton angle au départ, du moment que tu es cohérent après.

d = r*t c'est par définition des radians en fait. Si tu fais un tour avec une roue de vélo, tu auras avancé de 2*pi*r (c'est comme si tu avais déroulé ta roue de vélo sur le sol). Si tu fais un demi-tour de roue, tu auras avancé de pi*r. Généralisation : si tu tournes de t radians, tu avances de r*t.