Yo, comment vous répondriez à cette question avec un minimum de connaissances sur les VA ?
J'ai une démo mais je la trouve beaucoup trop longue et pas assez directe..

Un composant a une durée de vie X , v.a à support réel positif de densité f continue et non nulle en 0, et est remplacé immédiatement lorsqu'il tombe en panne, on note N(t) la VA comptant le nombre de pannes entre les instants 0 et t
Montrer que N(t) suit la loi P(f(0)t)

Donne toujours ta preuve, pour voir ?

P(N(t) = 0) = P(X > t) = 1 - F_X(t)
Y'a pas de raison pour que ça soit égal à e^(-f(0)t).
A moins que X suive une loi exponentielle, auquel cas c'est bien un processus de Poisson.

oui effectivement j'ai généralisé un peu vite, il faut que X soit sans mémoire.

Donc la loi exponentielle.

.
pour la démo j'avais noté 3 évènements :
si on note (x1,...,xk) les instants des pannes
E(e) : (N(t) = k ∩ |x(i)-x(j)| > e)
E(n) : (k pannes se produisent, et appartiennent chacune à un unique intervalle [tk/n ; t(k+1)/n]
on a alors pour n>t/e E(e) C E(n) C (N(t) = k)
ou encore P(E(e)) < P(E(int(t/e) +1) < P(N(t) = k) => lim n->+oo P(E(n)) = P(N(t) = k)

Et P(E(n)) = C(k,n)F(k/n)^k(1-F(k/n))^n-k -> (f(0)t)^k/k!exp(-tf(0)) (si X suit une loi exp effectivement)

En notant S_n la somme de 1 à n des X_k, on a P(N(t) = n) = P(S_n <= t) - P(S_(n+1) >= t).
En utilisant le fait que S_n suit une loi gamma (n,lambda) (si X suit une exp(lambda)), on doit pouvoir montrer le résultat.

P(S_n <= t) - P(S_(n+1) <= t)

ça se fait bien plus vite comme ça en fait

tu aurais une démo sans utiliser la loi de S_n ?
Il me semble que j'en avais croisé une qui reposait uniquement sur des équations différentielles mais je retrouve plus

Oui, je pense que c'est en utilisant une autre caractérisation du processus de Poisson.
Cf la définition 2 page 6 : http://www.gipsa-lab.fr/~melisande.albert/publi/memoireM1AlbertOgorek.pdf

Le 04 juin 2016 à 00:41:55 Prauron a écrit :
Oui, je pense que c'est en utilisant une autre caractérisation du processus de Poisson.
Cf la définition 2 page 6 : http://www.gipsa-lab.fr/~melisande.albert/publi/memoireM1AlbertOgorek.pdf

merci

Le 04 juin 2016 à 00:50:21 Maxwell-Thomson a écrit :
t'es en L3 l'auteur?

L2