Salut,

Soit L une longueur quelconque fixée. On découpe une feuille rectangulaire de dimensions inconnues en petits rectangles qui ont tous au moins un côté de longueur L.

Montrer que si l'on peut découper entièrement la feuille ainsi alors :

1) Les rectangles ont tous leurs côtés parallèles (2 à 2) à ceux de la feuille de départ.

2) La feuille de départ avait nécessairement au moins un côté multiple de L, ie de la forme kL avec k€N

La question d'origine est la 2) et je n'en ai pas de réponse. La 1) est plutôt une conjecture, j'ai rien écrit de propre mais on le sent bien quand même.

Bref, si vous avez des idées... j'y réfléchis de mon côté.

j'ai juste une question
ça se dit 'avoir un côté multiple de L' ?
j'ai toujours tendance à rajouter "de longueur multiple de L" mais on peut s'en passer ?

Est-ce que tu veux dire pour la 1° qu'on ne peut découper que parallèlement aux côtés du rectangle d'origine ? Dans ce cas c'est tout à fait normal, et on n'a pas besoin de l'hypothèse de départ qui impose des rectangles avec une longueur L.

Couper une feuille rectangulaire en formant uniquement des rectangles revient à paver une surface rectangulaire avec d'autres surfaces rectangulaires, et avec une démonstration par l'absurde on peut montrer que tous les côtés doivent etre parallèles 2 à 2.

THE_ff3_fan, oui c'est bien ça. Effectivement l'hypothèse de la longueur identique est superflue. Je n'ai pas de démo en tête mais ça doit bien marcher par l'absurde, on considère un côté oblique d'un des rectangle, ce côté doit être le côté d'un autre rectangle plus proche d'un bord, et de proche en proche on doit pouvoir en déduire que l'un des côtés de la feuille doit avoir la même direction que le côté oblique. Absurde.

skywear, c'est comme tu veux.

Oui j'ai pensé à la même, mais je ne l'ai pas formalisée non plus.

Par contre la 2ème question est un peu plus compliquée

Un schéma paint :

J'ai un début d'idée, mais elle repose sur une propriété que je n'arrive pas à démonter. Est -ce que pour un pavage donné, on peut réorganiser les pièces de ce pavage comme on veut , et ça nous donnera toujours un pavage de la même surface ?

ENfin je reformule : COMMENT est-ce que je peux réorganiser les pièces de mon pavage pour paver la même surface avec les mêmes pièces à coup ( c'est à sire est-ce-qu'il y a une méthode systématique )

Ca dépend des pièces, il y a des pavages pour lesquels une seule configuration est possible.

Et si on redécoupe nos pièces après avoir pavé notre surface , ça devrait pouvoir marcher non ?

En gros si on peut paver avec un certain nombre de pièces, on peut découper ces pièces et les réorganiser , et montrer qu'avec ces pièces on a forcément un grand rectangle de longueur L non ? ( en tout cas je ne vois pas pourquoi ca ne marcherait pas, car c'est une série d'implication )

http://www.cse.chalmers.se/~coquand/tile.ps

Y'a deux preuves ici, une jolie avec une astuce à la con, et une constructive.
D'ailleurs je viens de voir qu'il y a dans les références un papier avec 14 autres preuves

Nan mais c'est pas drôle

Je cherche encore

http://qcpages.qc.cuny.edy.edu/~zakeri/mat208/wagon.pdf
Le papier avec 14 preuves.
J'avais presque la n°7, mais je mettais pas de doubles-arêtes dans le graphe et du coup j'avais des sommets d'arité impaire et ça marchait pas

J'ai trouvé mais pour des longueurs entières uniquement. Mais en tous les cas quel que soit mon rectangle qui a des longueurs rationnelles, je peux lui associer un rectangles aux longueurs entières. Et puis les longueurs irrationnelles, y'a pas grand chose à part les racines qui soient constructibles

Y'a surement moyen d'améliorer, mais il est tard et j'ai perdu suffisamment de temps dessus ! Si ça vous intéresse je peux vous écrire la preuve demain.

on dit découpe ou découpage?

Je m'étais bien demandé si ça pouvait se généraliser en remplaçant "au moins un côté de longueur L" en "au moins un côté de longueur multiple de L" mais pour le coup je voyais encore moins pourquoi ça pouvait être vrai.

Merci pour les liens, je vais jeter un oeil à tout ça.

Je m'étais bien demandé si ça pouvait se généraliser en remplaçant "au moins un côté de longueur L" en "au moins un côté de longueur multiple de L"

Oui ça parait conceptuellement plus compliqué, mais en fait le premier implique assez trivialement le second : tu découpes chaque rectangle de longueur kL en k rectangles de longueur L, et tu te ramènes au cas où ils sont tous de longueur L

Ça marche encore si au lieu de prendre des côtés entiers, on prend des côtés dans Q, ou bien des côtés algébriques

Le 03 mai 2016 à 17:47:25 Lowenheim a écrit :

tu découpes chaque rectangle de longueur kL en k rectangles de longueur L, et tu te ramènes au cas où ils sont tous de longueur L

De même j'allais poser la question très conne de la réciproque : Etant donné un rectangle ayant un côté de longueur L, peut-on toujours faire un pavage avec des rectangles ayant au moins un côté qui divise L

A force de s'imaginer des pavages très compliqués, on en oublie les cas triviaux...