salut, je dois determiner l'equation d'un plan vectoriel engendré par u = (-1,2,1),v = (2,0,-1), mais je crois ne jamais avoir fait un exo de ce genre, je sais pas du tout ce qu'il faut faire, quelqu'un peut m'aider svp ?

(il faut trouver P | 2x-y+4z=0)

du plan vectoriel*

(x,y,z) appartient à P si et seulement si il existe deux réels a et b tels que au + bv = (x,y,z), ssi il existe a et b tels que
-a + 2b = x
2a = y
a-b = z

Ce qui équivaut (en sommant les équations 1 et 3) à
b = x+z
a = y/2
a-b = z

Ces a et b ne peuvent exister que si z = a-b = y/2 - (x+z). Si on réarrange on obtient bien 2x-y+4z = 0.

Et réciproquement, si 2x-y+4z = 0, alors a et b existent, il suffit de prendre a = y/2 et b = x+z.

Une autre méthode plus géométrique c'est de considérer qu'un vecteur normal au plan est le produit vectoriel de u et v. Or si (a,b,c) est un vecteur normal au plan, son équation est ax+by+cz = 0 (c'est immédiat en considérant le produit scalaire).

Mais je pense que c'est pas la méthode attendue.

Le plus simple (pour moi) c'est en effet de trouver un vecteur (a,b,c) normal à u et v et d'avoir une équation de plan du type ax+by+cz+d=0 avec d réel

Ici d = 0, P est un espace vectoriel.

Le 26 Avril 2016 à 21:24:18 Cicatricegamer a écrit :
Le plus simple (pour moi) c'est en effet de trouver un vecteur (a,b,c) normal à u et v et d'avoir une équation de plan du type ax+by+cz+d=0 avec d réel

Ce n'est pas la méthode attendue je pense, le fait que l'ev soit muni d'un produit scalaire n'est pas dans les hypothèses.
Le résultat obtenu est "plus général" ici.

J'suis d'accord avec Footmaxpro. Même si on peut introduire un produit scalaire, je pense que c'est un exo d'algèbre linéaire pur donc c'est pas trop dans l'esprit de l'exo de le résoudre un introduisant une structure supplémentaire.

Le 26 Avril 2016 à 21:32:36 bluepoint_ a écrit :

Ce n'est pas la méthode attendue je pense, le fait que l'ev soit muni d'un produit scalaire n'est pas dans les hypothèses.

Le résultat obtenu est "plus général" ici.

bah si, on est clairement en train de parler de R^3

C'est clair mais bon, je préfère quand même le méthode de Prauron qui me semble être la méthode attendue pour cet exo.
À moins que l'auteur soit dans les chapitres produit scalaire, tout ça... et là l'autre est plus adaptée.

merci
nan c'est un exo d'algebre lineaire seulement a priori