Bonsoir!

Je ne comprends pas la correction d'un exo, ça serait sympa si quelqu'un pouvait m'expliquer de manière un peu plus détaillée
Il s'agit juste de la question c) de l'exercice 1 ici http://mp.cpgedupuydelome.fr/pdf/Calcul%20matriciel%20-%20Changement%20de%20bases.pdf

(la correction est en page 3)

Je ne comprends pas comment on peut affirmer si rapidement que (e3) est base de ker(f) et (e1,e2) base de Im(f)

Aussi, je me demande si je n'ai pas mal compris le cours car vu que la matrice dans la base B' est déja échelonnée il me semblait qu'on aurait pu conclure que (1,0,0) et (0,2,0) formaient une base de Im(f)...

Merci beaucoup pour votre aide

e1 € Ker(f) implique que Ker(f) est au moins de dimension 1

e2 et e3 € Im(f) implique de Im(f) est au moins de dimension 2 car e2 et e3 ne sont pas colinéaires.

Le théorème du rang implique que la somme des dimensions de Ker(f) et Im(f) est exactement 3.

==> La conjonction de ces trois assertions implique que Ker(f) est de dimension 1, donc engendré par e1 qui est dedans, et Im(f) de dimension 2, donc engendré par (e2,e3) qui est une famille libre lui appartenant.

Ok merci je comprends ;)

Et donc j'imagine qu'on ne peut pas prendre (1,0,0) et (0,2,0) en disant que que la matrice est déjà échelonnée ? Il me semblait avoir compris que échelonner une matrice par des opérations élémentaires était justement un moyen de trouver une base de Im(f)

Il n'y a aucune raison que les colonnes de ta matrice échelonnée engendrent l'image de f

Pourtant si on prend une base de E donc dans notre cas B', on a bien Imf=vect(f(e1), f(e2), f(e3)) non ?

Et f(e1), f(e2), f(e3) c'est justement les colonnes de la matrice échelonnée

C'est bon je viens de comprendre, en fait je recopiais les vecteurs tel quel comme si M' était exprimée dans la base canonique donc ça marchait pas.
Du coup je trouve la base (e1, 2*e2) qui est la même que (e1, e2)