Bonsoir le forum, je suis bloqué sur un théorème sans nom mentionné mais non démontré dans le Madère analyse (leçon : dérivabilité des fonctions d'une variable réelle) :

Si f : I -> R est dérivable sur I\{a} et si f' admet une limite finie en a alors f est dérivable en a.

Comment prouver ce résultat? Et pourquoi ne l'exploite-t-on pas plus souvent pour montrer la dérivabilité de certaines fonctions en des points extrêmes?

(PS : J'ai tenté de googliser mais quand vous tapez "limite" et "dérivée" sur google, dur de faire le tri dans les résultats...)

tu pars de la définition :

f ' (a) = lim (x→a) (f (x) - f (a) ) / ( x - a)

Higgs si tu as une indication un peu plus poussée, je suis preneur.

Partant de la définition, je n'ai pas réussi à faire grand chose. La condition "f' admet une limite en a" fournit une limite double sur le taux d'accroissement. En gros il s'agirait de permuter les opérateurs limite, mais je ne vois pas ce qui justifie la permutation.

Utilise le TAF, comme ça tu pourras faire le lien entre le fait que f' tend vers l quand x->a et x/=a et l'écriture du taux d'accroissement.
Ce théorème porte le nom de "limite de la dérivée", et sert par exemple pour montrer qu'une fonction dérivable sur IR* est dérivable en 0, pourvu que l'expression de sa dérivée (qu'on calcule donc) tende vers quelque chose en 0.

Footmaxpro32, peux-tu développer? J'ai essayé des trucs avec le TAF mais sans succès. Je vais y réfléchir de mon côté pendant le dîner. Merci déjà pour vos réponses.

Le TAF t'indique que pour x quelconque sur [a,x], il existe c(x) € ]a,x[ tel que f'(c(x)) = (f(x)-f(a))/(x-a).
Vers quoi tend c(x) ? Et donc f'(c(x)) ?
Raisonnement à faire pour la limite à gauche et à droite, et donc tu pourras conclure.

Footmaxpro32, f n'est pas supposée continue en a donc tu ne peux pas appliquer le TAF...

L'auteur est-il sûr des hypothèses?

Hum oui c'est vrai, le théorème fonctionne-t'il encore sans cette hypothèse ?

J'ai écrit le théorème tel qu'il est énoncé dans le Madère, modulo la ligne qui précise que I est un segment que j'ai laissée implicite.

Bon du coup je sais pas désolé, j'ai jamais vu ce théorème sans l'hypothèse de continuité.
Tu connaissais déjà le théorème limite de la dérivée ou c'est la 1ère fois que tu le vois ?

Je viens de voir ça (http://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./p/prolongementderivee.html), apparemment tu peux essayer avec des suites de Cauchy... désolé d'avoir cru que ce serait si simple au début lol

J'avais dû le rencontrer durant mes études mais sans en connaître le nom et je pense que c'était avec l'hypothèse de continuité. Avec le nom du théorème les recherches google sont déjà plus faciles, du coup j'ai trouvé ça : http://iecl.univ-lorraine.fr/~Gerard.Eguether/zARTICLE/BB.pdf

Le théorème 2 est sans hypothèse de continuité, mais c'est pour des fonctions complexes. Je suppose que ça doit pouvoir s'adapter à R, j'y réfléchirai demain... Merci pour votre aide!

J'ai trouvé ça : http://www.mycpp.fr/un-theoreme-de-prolongement-c1/file-1136-fichetheoremeprolongementc1.pdf
Je pense que ça correspond à ton cas, à vérifier mais ça m'a l'air pas mal.

Bon à savoir que ça marche sans continuité au point concerné

Exactement ce qu'il fallait !

On peut démontrer/utiliser ca au niveau terminale ?
C'est vachement plus rapide que de calculer les limites des taux d'accroissements

Le 27 mars 2016 à 22:04:38 Muyoung a écrit :
On peut démontrer/utiliser ca au niveau terminale ?
C'est vachement plus rapide que de calculer les limites des taux d'accroissements

Utiliser non, puisque c'est hors-programme
Pour la démonstration :
La version sans hypothèse de continuité, clairement pas, ça utilise un critère de Cauchy... c'est même plus au programme de MP !
Pour la version sans continuité et la démo "classique" t'as besoin du TAF déjà hors-programme en TS, qui lui-même a besoin de Rolle qui a besoin du théorème des bornes...bref
Peut-être qu'il existe une version qui n'utilise que des outils de TS j'en sais rien, mais j'imagine qu'elle doit être assez compliquée car on part de loin...

C'est des choses que tu montreras rapidement en prépa/L1 maths et dans l'ordre, mais de toute façon, je vois pas en quoi ce théorème peut être utile en TS (sur des exos "banals" du moins), il sert pas si souvent ailleurs en +