Bonjour

Je refaisais un des mes TD d'analyse et je ne comprend pas la correction de la dernière question de cet exercice.

Dans la correction le prof a fait :

soit f(x)=sin(x)
sin(x)<=kx
<=> sin(x)/x<=k

lim sin(x)/x =1>k => La proposition est fausse.
x->0

Je ne vois pas en quoi prouver que sin(x)/x tend vers 1 prouve que la proposition est fausse, vu que l'on à un x au dénominateur la limite n'est jamais atteinte, donc on a toujours sin(x)/x<1, donc il peut toujours exister un k dans[ sin(x)/x,1] pour tous x.

Merci.

Si k<1, par définition de la limite, pour x assez proche de 0, sin(x)/x > (k+1)/2 > k.
Donc on n'a pas sin(x)/x <= k pour tout x appartenant à [0,1].

Pourquoi (k+1)/2?

Je ne comprend pas non plus, par "la définition de la limite" tu veux dire :

f:D->R defini au voisinage de x0
f admet une limite en L en xo
si pour tout voisinage V de L
Il existe un voisinage U de x0 tel que pour tous x qui appartient à U inter D , f(x) appartient a V

En prenant la déf de la limite de wikipédia
Tu as l'inégalité:
x<delta=>1-f(x)<1-k
Ce qui est équivalent à f(x)>k

Le 28 mars 2016 à 21:46:37 khyxes a écrit :
Je ne comprend pas non plus, par "la définition de la limite" tu veux dire :

f:D->R defini au voisinage de x0
f admet une limite en L en xo
si pour tout voisinage V de L
Il existe un voisinage U de x0 tel que pour tous x qui appartient à U inter D , f(x) appartient a V

Bah oui, ici x0=0, L=1.
En particulier [(1+k)/2 ; 2-(1+k)/2] est un voisinage de 1.
Donc il existe un voisinage de 0 tel que pour tout x appartenant à ce voisinage k<(1+k)/2<=sin(x)/x<=(3-k)/2.
Le (1+k)/2 est une minoration intermédiaire pour pouvoir passer à la minoration stricte par k.
Bref il existe un x>0 (appartenant à un certain voisinage de 0) tel que k < sin(x)/x

Ah pourquoi mon truc marche pas?

Si, en fait j'ai utilisé la définition de la limite avec l'inégalité large alors que celle avec l'inégalité stricte est plus pratique.

C'est une question de définition, on peut écrire |f(x)-L| <= epsilon ou |f(x)-L| < epsilon indifféremment, l'important étant que epsilon > 0. Les deux définitions étant heureusement équivalentes.
La plupart du temps, ça n'a aucune importance.

Mais pour l'exo, il me paraît plus simple de passer à la limite en 0+ dans sin(x)/x <= k, on obtient 1 <= k ce qui est absurde.

Merci a vous tous pour votre aide.