Yo ,
J'ai un doute sur un point :
Soit une famille (e1,......,ep) de E ( E R-ev de dim finie) pour que cette famille soit liée , il faut que (e1,....ep) engendre ou n'engendre pas E ?
Merci

T'as aucun résultat spécial.
(1,0,0) et (2,0,0) est liée sans engendrer R^3.
Et (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,0) engendre R^3 et est liée.

Enfait j'ai une question qui demande : Quelle est la condition qui permet de dire que (e1....,ep) est liée ?
(e1..ep) engendre E
(e1...ep) n'engendre pas E
(e1...ep-1) engendre E
(e1...ep-1) n'engendre pas E

Si (e_1,...,e_{p-1}) engendre E, E est de dimension au plus p-1. Donc (e_1,...,e_p), qui est une famille de p vecteurs, est liée.

Le 12 mars 2016 à 17:07:33 Prauron a écrit :
Si (e_1,...,e_{p-1}) engendre E, E est de dimension au plus p-1. Donc (e_1,...,e_p), qui est une famille de p vecteurs, est liée.

Et maintenant l'auteur, essaie de trouver des contre-exemple pour les 3 autres cas

En fait même pas besoin de parler de dimension, puisque la notion de dimension est définie à partir de cette propriété facile à démontrer :

Si (x_1,...,x_n) engendre E, alors pour tout y, la famille (x_1,...,x_n,y) est liée.

Enfait j'ai pas très bien compris le fait qu'une famille de vecteurs engendre un espace.
Par exemple si (e1,....ep) engendre E => E est de dim p ? En quoi ca influe sur le fait que la famille soit liée ou non ?

Pas forcément, si tu prends une base de l'espace et que tu rajoutes un vecteur, elle engendre l'espace sans pour autant que son cardinal soit la dimension.
Par contre si une famille finie engendre un espace, la dimension de l'espace est plus petite que le cardinal de la famille.

Par exemple la famille ((1,0), (0,1), (1,1)) engendre R², qui est de dimension 2.

Quelle que soit une famille libre et une famille génératrice de E, on aura toujours
On a card(libre) =< dim(E) =< card(génératrice).

Si maintenant, tu as une famille F telle que card(génératrice) < card(F), alors nécessairement F est liée (peu importe la famille génératrice considérée).
De même, si tu as une famille F telle que card(F) < card(libre), alors nécessairement F ne peut pas générer E (peu importe la famille libre considérée).

Donc si {e1; ... e[p-1]} engendre E, alors la famille {e1;...;e[p-1];e[p]} est de cardinal plus grand strictement qu'une famille génératrice de E. Donc {e1;...;e[p-1];e[p]} est forcément liée.

Merci j'ai mis du temps à comprendre ca
Autre question : On prend F G et G' des sous ev de E tels que E= F+G=F+G' (en somme directe);
A quelle condition peut on dire que G=G' ?
->C'est toujours le cas (faux)
->Si G inclus dans G'
->Si F est non nul
Si G=G'=E
Merci

Si G=G'=E

Y'a pas déjà la conclusion dans ça ?

Si c'est en dim finie, tu peux utiliser les dimensions

edit : la dernière proposition est : -> Si G+G'=E et oui E est de dim finie.

Puisque les sommes sont directes, on a dim(E) = dim(F) + dim(G) = dim(F) + dim(G')
Donc dim(G) = dim(G') (= dim(E) - dim(F)).
Si G est inclus dans G' et que dim(G) = dim(G'), alors G = G'.

Et pour les autres propositions, tu peux facilement trouver des contre-exemples en prenant des droites vectorielles dans R².

Comme je l'ai dit, tu peux penser aux dimensions.
Tu peux aussi penser à des contre-exemples simples dans R^2.

Grillé par Prauron