Salut

Je n'arrive pas à résoudre l'exercice suivant :
Soient E un espace vectoriel de dimension n et f et g deux endomorphismes de E
On note h la restriction de gof au sous espace H et on a H et Kerf supplémentaires dans E
Montrer que Ker(gof)=Ker(h)+Ker(f)

J'ai fait l'inclusion réciproque mais je n'arrive pas à faire le sens direct

Merci de votre aide !

Tu prends x dans Ker(gof).
Vu que H et Ker(f) sont supplémentaires, on a x = y + z, avec y dans H et z dans Ker(f).
Donc 0 = gof(x) = gof(y) et y est dans Ker(gof) inter H, donc dans Ker(h).

T'as une autre version, si ça t'amuse.

Ker(gof) = Ker(gof) n E = Ker(gof) n (H + Ker(f)) = (Ker(gof) n H ) + (Ker(gof) n Ker(f)).

La premier terme est clairement égal à Ker(h) par définition de h et H, tandis que le premier est égal à Ker(f).

(Mais je préfère celle de Morph', elle est nettement plus éclairante. Là c'était juste du bourrinage ensembliste où tu comprends rien à ce que tu fais. )

Ok ça marche, merci à vous deux