Salut
Je bloque sur les exercices VI-3 et VI-4 et j'ai besoin de votre aide, voici l'énoncé :

En fait, pour le VI-3, je ne parviens pas à montrer que (In) converge, comment je peux faire ?
Enfin, à l'exercice VI-4, je bloque à la b), je vois déjà la limite de J, mais je ne sais pas comment démontrer ce que l'on me demande

On vient de débuter le chapitre sur les primitives et les intégrales, donc soyez indulgents s'il vous plait quant à mes questions de novices

Merci à vous

T'as étudié les variations de In déjà ? Si oui tu trouves que c'est une suite croissante, décroissante ? Pour le 4 c'est juste un théorème de comparaison que tu as déjà du voir.

Salut !
Oui, je trouve que (In) est décroissante. Donc normalement, suffit de montrer qu'elle est minorée et c'est bon, non ?
Parce que le truc, c'est que ça arrive qu'en nous demandant de montrer qu'une suite converge, et bien on nous demande en fait de déterminer directement sa limite. Mais là vois-tu, je suis légèrement perdu
Je vois pas comment déterminer une limite là, sachant que t est compris entre 0 et 1.
On a vu que pour calculer une intégrale, on pouvait le faire en passant par une primitive et en faisant la différence des images des bornes, mais je suis pas convaincu que cela m'avance.

Pour le 4, oui, je vois de quoi tu parles. Mais le problème, c'est juste pour la démonstration en fait, je pensais procéder par récurrence, mais ce qui m'ennuie, c'est que le n est une borne, et du coup je vois pas trop comment m'y prendre.

Tu peux montrer qu'elle converge sans calculer explicitement sa limite ici, tu auras répondu à la question.
Après, rien de très compliqué pour calculer cette intégrale si t'en as envie.

Pour la 4) par récurrence, tu supposes donc J_n >= (n-1)/2 pour en déduire J_(n+1) >= n/2.
1) Comment faire apparaître J_n dans l'expression de J_(n+1) ?
2) Remarque que n/2 = (n-1)/2 + 1/2, on aimerait bien faire apparaître un 1/2 quelque part (et c'est possible...)

En fait pour la 3, je pige pas vraiment comment m'y prendre L'idée, ça serait donc de montrer que la suite est minorée, non ? Mais le truc, c'est que t varie entre 0 et 1, donc ça me parait difficile de calculer une limite, à moins que ce ne soit n qu'il faut faire tendre vers +00 ?

4) 1) Je vois, faut que j'utilise Chasles, et J_n+1 =( int(0,n) f(x)dx + int(n,n+1) f(x)dx )
2) Donc faudrait que je fasse apparaître 1/2, et donc de l'autre coté, on aurait J_n + 1/2, mais je ne vois pas à quoi ça m'avance, désolé
En plus, je bloque dès l'initialisation ( ), car pour le rang n=1, il me faudrait une primitive de f(x) pour calculer l'intégrale, et je ne trouve pas cette fameuse primitive

Si donc c'est bien n qui doit tendre vers +00 (ça me semble un plus logique là), et bien la limite de (In) serait donc 1 ?

Le 08 mars 2016 à 22:17:43 Protonemas a écrit :
En fait pour la 3, je pige pas vraiment comment m'y prendre L'idée, ça serait donc de montrer que la suite est minorée, non ? Mais le truc, c'est que t varie entre 0 et 1, donc ça me parait difficile de calculer une limite, à moins que ce ne soit n qu'il faut faire tendre vers +00 ?

Je te suis plus là, tu m'as l'air de mélanger plusieurs choses sans rapport
Reprenons, t'as I_n = int(0,1) (1+t^n dt). I_n c'est un nombre, c'est la valeur à n fixé de l'intégrale, tu peux la calculer sans faire tendre quoi que ce soit vers +oo.
J'ai du mal à te comprendre là, mais c'est bien n qu'il faut tendre vers +oo, on étudie la suite (I_n) !
As-tu bien compris ce que représente cette suite, tu peux dessiner I_1, I_2, I_3... si besoin.

Bon sinon à part ça, oui tu dois montrer que (I_n) est minorée : que sais-tu sur les intégrales de fonctions positives sur un intervalle ?

4) 1) Je vois, faut que j'utilise Chasles, et J_n+1 =( int(0,n) f(x)dx + int(n,n+1) f(x)dx )
2) Donc faudrait que je fasse apparaître 1/2, et donc de l'autre coté, on aurait J_n + 1/2, mais je ne vois pas à quoi ça m'avance, désolé
En plus, je bloque dès l'initialisation ( ), car pour le rang n=1, il me faudrait une primitive de f(x) pour calculer l'intégrale, et je ne trouve pas cette fameuse primitive

4)1) OK
4)2) Par faire apparaître, je pensais pas à une égalité
Pour l'init et le reste, une chose à savoir sur ce genre d'exercice où on te demande pas explicitement de calculer quoi que ce soit, c'est d'essayer d'utiliser des propriétés bien connues sur les intégrales.
Par exemple, si f est une fonction dont tu ne sais pas calculer la primitive, mais si tu sais que f <= g sur I, alors int(f) <= int(g) sur I, ça peut servir pour montrer des choses sans passer par le calcul de primitive.

Pour l'init, J_1 >= 0, je te renvoie à ce que j'ai écrit plus haut pour l'exo précédent.

Le 08 mars 2016 à 22:35:44 Protonemas a écrit :
Si donc c'est bien n qui doit tendre vers +00 (ça me semble un plus logique là), et bien la limite de (In) serait donc 1 ?

C'est un peu plus logique oui
Oui, la limite vaut 1, en fait on peut le montrer sans passer par le théorème de limite monotone car l'intégrale est franchement triviale, mais dans la "vraie vie", il y a beaucoup d'intégrales qu'on ne sait pas calculer facilement et ce genre de méthode permet de montrer la convergence sans pour autant calculer explicitement la limite (c'est le but de l'exo je pense).

D'accord, c'est plus clair pour l'exo 3, merci

Le 08 mars 2016 à 22:43:25 Footmaxpro32 a écrit :

Bon sinon à part ça, oui tu dois montrer que (I_n) est minorée : que sais-tu sur les intégrales de fonctions positives sur un intervalle ?

Et bien, que l'intégrale d'une fonction positive sur un intervalle est elle aussi positive sur cette intervalle ?

Sinon, je pense avoir progressé pour la question b) du 4, j'en suis maintenant à l'hérédité (je bloquais comme un con sur l'initialisation en fait), voici ce que j'ai fait :
Du coup, je comprends pourquoi ça serait bien de faire apparaître un 1/2, mais je vois pas trop comment en fait

Le 08 mars 2016 à 23:22:47 Protonemas a écrit :
D'accord, c'est plus clair pour l'exo 3, merci

Le 08 mars 2016 à 22:43:25 Footmaxpro32 a écrit :

Bon sinon à part ça, oui tu dois montrer que (I_n) est minorée : que sais-tu sur les intégrales de fonctions positives sur un intervalle ?

Et bien, que l'intégrale d'une fonction positive sur un intervalle est elle aussi positive sur cette intervalle ?

Oui, et donc t'en déduis forcément que I_n >= 0, et voilà le minorant (pareil pour J_1)

Sinon, je pense avoir progressé pour la question b) du 4, j'en suis maintenant à l'hérédité (je bloquais comme un con sur l'initialisation en fait), voici ce que j'ai fait :
Du coup, je comprends pourquoi ça serait bien de faire apparaître un 1/2, mais je vois pas trop comment en fait

Pas sûr que t'aies compris en fait, tu tournes un peu en rond sur les 4 dernières lignes :p
En fait, pour tout dire je suis pas sûr que ma méthode soit celle attendue, elle utilise 2 résultats intermédiaires, soit 2 de trop en TS ordinaire, mais bon j'ai pas trouvé mieux et j'ai pas envie de réfléchir

T'as J_(n+1) = J_n + integrale(n,n+1) F(x)dx
Faut bien voir les choses, J_(n+1) c'est quelque chose de plus grand que (n-1)/2 (par HR) + un truc positif
Si t'arrives à prouver que integrale(n,n+1) F(x)dx >= 1/2, c'est gagné, t'auras alors J_(n+1) >= (n-1)/2 + 1/2 = n/2

Pour établir ce résultat, ne cherche surtout pas à calculer une primitive, je te conseille d'étudier les variations de la fonction F et de tracer sur un graphe la courbe de F ainsi que de y=1/2 (on utilise en fait une "inégalité" du cours mais je suis pas sûr que t'aies bien compris le principe )

En fait pas besoin de récurrence, tu peux montrer que F(x)>=1/2 pour x >= 1, puis comparer l'intégrale de F de 1 à n avec quelque chose, puis conclure de 0 à n. C'est un peu plus simple mais l'idée est la même.

Ouais, je vois ce que tu veux dire (à peu près ).
Du coup, j'ai bricolé un peu, et ça à l'air de marcher, mais j'imagine que tu viendras rectifier en me montrant que je me suis planté .
Donc en gros, voila ce que j'ai dit : on voit que f(x) >= 1/2 pour x>=1, donc int(k,k+1) f(x)dx >= 1/2, pour x>=1
Ce qui se confirme, vu qu'on prend un k supérieur ou égal à 1, donc l'intervalle [k;k+1] n'est pas entre [0,1].
Et puis après ça, j'arrive à chopper l'hérédité, et c'est réglé.
Voilà, j'attends ton avis ! Mais p'tet pas ce soir, il est un peu tard
Merci beaucoup

Le 09 mars 2016 à 00:22:03 Protonemas a écrit :
Ouais, je vois ce que tu veux dire (à peu près ).
Du coup, j'ai bricolé un peu, et ça à l'air de marcher, mais j'imagine que tu viendras rectifier en me montrant que je me suis planté .
Donc en gros, voila ce que j'ai dit : on voit que f(x) >= 1/2 pour x>=1, donc int(k,k+1) f(x)dx >= 1/2, pour x>=1
Ce qui se confirme, vu qu'on prend un k supérieur ou égal à 1, donc l'intervalle [k;k+1] n'est pas entre [0,1].
Et puis après ça, j'arrive à chopper l'hérédité, et c'est réglé.
Voilà, j'attends ton avis ! Mais p'tet pas ce soir, il est un peu tard
Merci beaucoup

C'est ça (à part pour le "pour x=>1" après le ">= 1/2", précise juste que [k,k+1] n'est pas [0,1]) !
Bon c'est peut-être pas très intelligent pour le coup d'utiliser un intervalle [n,n+1] mais c'est ma faute ici.
Au moins, ça t'aura permis d'entrevoir une propriété remarquable quand on intègre une constante sur [n,n+1], ça te servira pour autre chose selon ton orientation future
Tu peux choisir cette méthode ou faire sans récurrence avec l'intervalle [1,n].

Hallelujah, c'est fini
Ah ? En fait, j'ai pas trop remarqué ce que c'était cette fameuse propritété, putain j'me sens con là

Rien de vraiment fameux non plus, juste que comme n+1-n=1, tu peux encadrer l'intégrale d'une fonction monotone sur [n,n+1] par f(n) et f(n+1) entre autres

Ah ouais d'accord, je vois !
Un immense merci à toi, t'étais vraiment chaud quand même pour faire des maths avec moi jusqu'à 00h45, et franchement, c'est super cool