Bonjour,

Voila l'exercice,

on a Fn(x)=x^5+nx-1
Fn(Un)=0

Calculer Fn+1(Un) :
Fn+1(Un)=Fn(Un)+Un=Un

Et apres il faut en deduire la monotonie de la suite (un)
mais je ne sais pas comment faire?
J'ai aussi un petit problème pour savoir quell est la suite ?
Fn+1(Un) est il égale a Un+1?

F_n est une fonction strictement croissante sur R, pour tout n, donc F_n admet une unique racine réelle, qu'on appelle u_n. De plus F_n(0) = -1 < 0. Donc l'unique racine est strictement positive.

F_(n+1)(u_n) = u_n > 0.

Donc u_n se situe après la racine de F_(n+1) (on est déjà >0). Donc u_(n+1)<u_n.

Je comprends pas la derniere phrase.

F_(n+1)(u_n) > 0 et F_(n+1) est strictement croissante. Où se situe la racine de F_(n+1) par rapport à u_n ?

Mais c'est quoi Fn+1 ?

F(n+1) c'est la fonction qui à x associe x^5+(n+1)x-1

c'est Fn+1(x) alors ? et pas Fn(n+1) ?

La racine de Fn+1 c'est Un+1 enfaite ?

Quand j'écris F_(n+1), ça veut dire que n+1 est en indice.

Fn+1 est ambigu, on ne sait pas si le +1 est dans l'indice ou non. On aurait pas à se poser ce genre de question si JVC étaient capable de mettre du LaTeX sur leurs forums.

La racine de F(n+1) c'est U_(n+1) ?

La racine de F_(n+1) est u_(n+1) oui. Enfin je suppose que c'est ça la définition de la suite (u_n).

Ah ok bah j'ai compris merci beaucoup
Enfaite vu que F_(n+1)(U_n)=Un>0
et que F est croissante ca veut dire qu'on a deja passer le cas ou F_(n+1)=0 donc U_n> U_n+1

Voilà c'est ça.

Merci,

Sinon la derniere question est determiner un equivalent de Un et dans le cours on met que F_n(u_n)= Un^5+Un*n-1=0 donc 1-Un^5=n*Un
d'ou equivalent de Un c'est 1/n

u_n ~ 1/n si et ssi n*u_n tend vers 1. Ici n*u_n = 1 - u_n^5 et u_n^5 tend vers 0 car u_n tend vers 0 (ça faut le prouver).

ah oui et Un tends vers 0 car on met dans lexercice que Un appartient a [0,1] donc un^5 tends vers 0

Euh c'est pas suffisant. Si tu prends u_n = 1/2, t'as bien u_n dans [0,1] et u_n^5 ne tend pas vers 0.

Et même si la suite est décroissante ça suffit pas, cf 0.5*(1+ 1/n)

C'est bien x^5 et pas x^n ?

comment prouver que Un tends vers 0 ?

Soit e > 0. Il existe un entier N tel que pour tout n > N, n*e > 1. Ainsi :
Pour tout n > N, e^5 + ne - 1 > 0
Pour tout n > N, F_n(e) > 0
Pour tout n > N, u_n < e (même argument que tout à l'heure, si F_n(e) > 0 c'est que u_n < e).

Donc pour tout e > 0, il existe un entier N tel que pour tout n > N, 0 < u_n < e, ce qui prouve que u_n tend vers 0.