Bonjour, j'ai f qui est C2 sur R+ et son intégrale sur [0;+oo[ existe. On sait aussi que f'' (dérivée seconde) est aussi intégrale sur [0,+oo[
Je chercher à montrer que f et f' tendent vers 0 en +oo.
Du coup j'essaye de montrer que f admet une limite (ce serait donc forcément 0 puisqu'elle est intégrable) mais je n'y arrive pas.
Merci d'avance

Salut,

f(x) = f(0) + Int(f'(t)dt, t = 0..x)
et de la même façon
f'(x) = f'(0) + Int(f''(t)dt, t = 0..x)

Cela suffit pour conclure

Merci mais je ne vois pas bien comment conclure. La deuxième expression permet de dire que f' admet une limite finie en +oo mais je vois pas comment se servir de la première car on ne sait pas si f' est intégrable.

Si f' admet une limite strictement positive en +oo, alors elle est minorée à partir d'un certain moment et donc f est minorée à partir d'un certain moment par une fonction affine ce qui contredit le fait qu'elle soit intégrable sur R+. Donc la limite de f' ne peut être que nulle.

merci

Mon cours d'intégrabilité commence légèrement à être un peu loin... mais comment obtenir que f' est intégrable (et aussi que sa limite est nécessairement > 0) ? Car c'est pas dans les hypothèses initiales.

f' n'est pas nécessairement intégrable, par contre on obtient qu'elle converge vers 0.

Ah oui j'ai mal lu, merci, j'ai cru que c'était f' dans "ce qui contredit le fait..."