Un exo sur lequel je suis tombé aujourd'hui en surfant les interwebs. Plutôt intéressant à faire donc je vous le propose :
(Le niveau requis est L3 à peu près, en tout cas je ne connais pas de preuve plus simple)

Prouver que l'on ne peut pas munir l'ensemble des entiers naturels N d'une mesure de proba qui associe, pour tout entier naturel p>=1 : P(pN)=1/p

(la probabilité d'appartenir aux multiples de p vaut 1/p)

Bon courage.

J'ai vu un nicomezi sur math.SE, c'est toi ?

Tiens, il est rigolo çui-là, m'en souviens encore.

C'est dur ou pas ?

Le 27 février 2016 à 19:13:55 Prauron a écrit :
J'ai vu un nicomezi sur math.SE, c'est toi ?

Oui, je l'ai piqué là l'exo.
Mais chuut.

C'est pas très dur non. Mais j'en dis pas plus.

J'ai mis les probas dans mes tags mais je l'ai loupé celui-là.

J'en ai fait une démo en DM, mais à mon avis c'est pas la manière la plus simple de le faire vu que ça exploite la divergence de la série des inverses des nombres premiers

Ce doit être la méthode que je connais. Mais bon cette série est connue pour diverger, ça me choque pas si on ne me le démontre pas ici.

J'aurais pas dû effacer mon message alors.

Un indice :

Je crois que je l'avais déjà vu cet exo en fait...

Voilà une solution :

Lemme de Borel-Cantelli, 2ème partie : Si une suite d'événements indépendants A_n est telle que la somme des P(A_n) diverge, alors P(lim sup A_n) = 1.
lim sup A_n est l'événement "une infinité de A_n se produisent". On peut l'écrire comme l'intersection sur n>=0 de la réunion sur k>=0 des A_k.

En notant p_1,p_2,...,p_n,... la suite des nombres premiers, on pose A_n = p_n N (les multiples de p_n).
Supposons que la proba P existe. On a alors que la somme des P(A_n) est la somme des inverses des nombres premiers, qui diverge (ça je l'admets, je sais plus comment on le montre... avec le produit des 1- 1/p_n non ?). Mais pour pouvoir appliquer le lemme de Borel-Cantelli, il faut vérifier que les A_n sont indépendants, c'est-à-dire que :
pour tout k et pour tout n_1, ..., n_k, P(A_ {n_1} inter ... A_ {n_k}) = P(A_{n_1})*...*P(A_ {n_k}). Or
A_ {n_1} inter ... A_ {n_k} = ppcm(p_ {n_1},...,p_ {n_k})N = p_{n_1}*...*p_{n_k} N (car les nombres sont premiers). Donc on a bien l'indépendance donc on peut appliquer Borel-Cantelli. Donc lim sup A_n est de proba 1, ce qui signifie que l'ensemble des entiers qui appartiennent à une infinité de A_n est de proba 1. C'est impossible car cet ensemble est vide (aucun entier n'est multiplie d'une infinité de nombres premiers).

(ça je l'admets, je sais plus comment on le montre... avec le produit des 1- 1/p_n non ?)

Tu dois pouvoir t'en sortir comme ça, sinon tu invoques comme une brute le théorème des nombres premiers et tu étudies la série des 1/n(ln(n)). (N'ayant aucune subtilité c'est ce que je choisirais perso. )

C'est un tooouuut petit peu bourrin.

https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_des_inverses_des_nombres_premiers

Pas mal Erdös, pas mal...

Bien joué Prauron si tu l'as pas fait de mémoire.

Non non. J'ai toute de suite pensé à la série des inverses des nombres premiers, mais pas à Borel-Cantelli (j'ai regardé ton indice). Je sais pas pourquoi à chaque fois qu'il faut utiliser ce lemme, j'y pense pas.
Et j'ai à l'utiliser pile assez rarement pour que j'aie le temps de l'oublier d'une fois sur l'autre.

Perso j'ai galéré à essayer de trouver des évènements indépendants alors que j'étais parti sur les bons au départ. J'avais aussi pensé à Borel Cantelli (d'où ma recherche d'évènements indépendants) mais j'ai mis du temps à faire le lien entre les deux comme un gros débile.

Vu que je connais pas Borel Cantelli :

On montre d'abord que pour toute suite de nombres premiers (pk), la suite est indépendante.
En effet, l'intersection des pkN est par définition ppcm(pk)N, et comme les pk sont tous premiers entre eux, leur ppcm est leur produit, donc P(intersection des pkN) = 1/produit(pk) = produit des P(pk), donc les pkN sont indépendants, et donc leurs complémentaires dans N.

Pour m quelconque, on peut donc considérer tout simplement la suite des nombres premiers à partir du rang m+1 jusqu'au rang n.
D'où avec ce qui précède : P(intersection des complémentaires de (pk pour n>k>m)) = produit des P(complémentaire pkN / n> k>m) = produit (1-P(pkN)) = produit (1-1/pk).

Comme la série des inverses des nombres premiers diverge, de manière équivalente produit 1/1-1/pk diverge, et donc produit(1 - 1/pk) tend vers 0.
Par limite monotone, P(complémentaire pkN / k>m) = 0.
Et par complément à 1 : P(union pkN / k>m) = 1

Or, comme pm > m, l'intervalle entier [1,m] est dans le complémentaire de l'union des pkN, et donc P({m}) = 0 pour tout m>0.
Enfin, on a aussi P({0}) = 0 (car {0} inclus dans pkN donc P({0}) <= P(pkN) = 1/pk qui tend vers 0).

Donc pour tout entier m, P({m}) = 0, donc P(N) = 0, ce qui est absurde.

C'est un peu plus calculatoire mais on dirait que ça marche. C'était la preuve de ton DM ?

C'était ça oui.
Je viens de voir que j'ai oublié plein de fois le mot "intersection" ou "complémentaire"...mais bref