Hello,

avez-vous des idées pour l'exercice suivant ?

On considère une suite (vn)n€N telle que :
1) (vn) converge vers 0
2) Pour tout n : -1 <= v(n+1) / v(n) <= 1/2

Montrer que la série de terme général (vn) est convergente.

J'ai essayé une disjonction de cas : v(n) de signe constant => la réponse est donnée par le critère de D'Alembert. Reste le cas où v(n) change de signe et là je ne vois pas trop quoi faire... Je ne vois pas bien pourquoi ça marche d'ailleurs dans le cas où v(n) change de signe (parce que si c'était le cas, ça ferait parti du critère de d'Alembert non?)

Tu es sûr que la série est absolument convergente?

Surem ce jean-maths

Les jean-maths

Ok donc le dernier cas à traiter est celui où la suite change une infinité de fois de signe. Je vais voir ce que ça donne avec le critère des séries alternées.

Je n'ai pas trop compris ton avant dernier message, du coup je suis paumé. Par contre j'étais d'accord avec ton deuxième message.

Edit : Ah ben ya plus de messages

je reprends oklm pour pas t'embrouiller :
le problème vient du cas où le quotient vn+1/vn prend la valeur -1
si il prend jamais cette valeur, on peut conclure facilement à une convergence absolue avec d'alembert et dans le cas contraire on doit travailler plus finement :
si vn+1/vn converge vers -1 => series alternées
si vn+1/vn converge pas => les deux cas que je t'ai parlé tout à l'heure avec infinité de valeurs ou pas

Je ne comprends pas trop pourquoi le fait de converger vers -1 ou pas est déterminant. C'est quoi les deux cas dont tu fais référence dans le cas où il n'y a pas convergence?

le problème c'est qu'on sait même pas si vn+1/vn admet une limite, dans le cas où le quotient tend vers -1 c'est par valeurs supérieures donc on |vn+1| <= |vn| et vn qui tend vers 0 donc on peut conclure avec le critère des suites alternées
ce cas peut d'ailleurs ce produire sans que vn+1/vn prenne la valeur -1

Oui mais du coup le cas où v(n+1)/v(n) ne converge pas est quand même assez large non? Je ne vois pas trop ce qui est faisable avec ça... le cas facile est celui où v(n+1)/v(n) ne converge pas mais reste inférieur à 0 car dans ce cas ça vérifie le critère des séries alternées

Moi je propose un truc comme ça :

Si la suite est de signe constant alors elle vérifie en valeur absolue et à partir d'un certain rang le critère de d'Alembert donc c'est ok.

Sinon, si la suite change une infinité de fois de signe, on regroupe les termes en deux catégories : Ceux dont le signe est différent du terme précédent et tous les autres.

La première catégorie forme une série convergente par le critère des séries alternées et la suite formée des termes restant est majorée en valeur absolue par une suite géométrique de raison 1/2 donc génère une série absolument convergente. Chaque regroupement fournit donc une série convergente, reste plus qu'à justifier le regroupement en passant par les sommes partielles.

Amandin je ne comprends pas le truc de la suite géométrique mais je vais y réfléchir

Un exemple :

0,8
0,4
0,2
-0,2
-0,1
+0,08
+0,04
-0,03
- 0,015

Si je retire les termes en gras, on voit bien qu'en valeur absolue les termes restant sont toujours au moins divisés par deux l'un par rapport à son précédent.

c'est bon j'ai compris. Si v(k) et v(k+1) sont de signe différent et si v(k+2) est de même signe que v(k+1) alors :

|v(k+1)| <= |v(k)|
|v(k+2)| <= 1/2 |v(k+1)|

donc |v(k+2)| < 1/2 |v(k)|

Mais il y a un soucis si la suite alterne de signe à chaque terme du coup non? Ah bah non c'est le critère des séries alternées dans ce cas