Salut,

A] On considère une suite u. Parmi les trois conditions suivantes, il y en a-t-il une qui assure automatiquement la convergence de u?

1) Pour tout m, u(n+m) - u(n) converge vers 0 (en n)
2) Pour tout m, u(n×m) - u(n) converge vers 0 (en n)
3) Pour tout m, u(n^m) - u(n) converge vers 0 (en n)

B] Dans le cas d'une réponse systématiquement négative à A], peut-on remplacer n+m (ou n×m ou n^m) par une expression en n et m simple pour avoir automatiquement la convergence? (des critères sont à définir pour éviter des cas triviaux. On peut par exemple demander à ce que l'expression soit strictement croissante en n)

C] Quelle hypothèse simple peut-on rajouter à la condition 1) (ou 2) ou 3)) pour assurer la convergence?

Je n'ai pas encore de réponse à toutes les questions.

Aucun des trois cas n'assurent la convergence, tu prends une suite constante ça marche pas

1) Non, un = cos (2*pi*n/m) fournis un contre exemple
2) Non, un = cos(2*pi*ln(n)/ln(m)) fournis un contre exemple
3) Non, un = cos(2*pi*ln(ln(n)/ln(m)) fournis un contre exemple

B]Je sais pas trop. Déjà il faut éviter une opération que je peux transformer en addition pour la donner à manger à un cos.

A]1) Non, u(n)=1+1/2+...+1/n donne un contre-exemple : u(n+m)-u(n)= 1/(n+1)+....+1/(n+m) <m/(n+1) qui converge vers 0.
2) Dans le même style, u(n)=1+1/(2log(2))+....+1/(n.log(n)) fourni un contre-exemple
3) Prendre u(n)=(-1)^n. Alors, u(n^m)=u(n) pour tout n.
B] C'est pas vraiment clair mais intuitivement, je pense que ce n'est pas possible.

C] Pour le 1), la convergence uniforme en m, implique la convergence de u(n). Ce n'est pas clair que ce soit aussi le cas pour le 2) (je pense que ce n'est pas le cas).

Fazzel > Une suite constante est convergente!

Dagnyr > La suite u ne peut pas dépendre de m (puisque m est quantifié universellement dans les conditions)

Ar-Pharazon > Ok avec tes exemples, on pouvait aussi considérer de façon amusante : ln(n), ln(ln(n)) et ln(ln(ln(n))). Pour la B] je pense avoir une preuve qu'effectivement, ce n'est pas possible (s'inspirant de ma réponse au A] que je viens de donner).
Pour la C] j'avais bien la condition de convergence uniforme pour 1) et contrairement à toi j'ai l'impression que ça fonctionne pour les autres mais je n'y ai pas trop réfléchis, m'étant attardé surtout sur la B]

En tout cas, pour le 3) mon contre-exemple est uniforme en m.
C'est pour le 2) que j'ai un doute.

Pour le B] voici ce que j'ai :

On considère une suite du type :
ln(1), ln(1), ln(1),
ln(2), ln(2), ln(2), ln(2), ln(2), ln(2), ln(2), ln(2), ln(2), ln(2),
ln(3), ln(3), ln(3), ln(3), ln(3), ln(3), ln(3), ln(3), ln(3), ln(3), ln(3), ln(3), ln(3), ln(3), ....

et l'on fait en sorte que le nombre d'occurrence de chaque log croît suffisamment pour que, à partir d'un certain rang, lorsque u(n) est de la forme log(k) alors u(f(n,m)) est de la forme log(k) ou au pire log(k+1)

Par exemple pour f(n,m) = n^m (condition 3)) on peut faire en sorte que chaque log(k) apparaît par exemple E(exp(k)) fois.

Quel que soit m, il existe un rang N à partir duquel E(exp(N)) >= N^m, de sorte que dès que n > N : si u(n) est de la forme log(k) alors u(n^m) est au pire de la forme log(k+1) et donc u(n^m)-u(n) converge vers 0.

Le 16 février 2016 à 17:05:56 Amandin a écrit :

Dagnyr > La suite u ne peut pas dépendre de m (puisque m est quantifié universellement dans les conditions)

Ah oui, effectivement c'est pour tout m, j'avais pas fait gaffe à ça.

Dans le cas 2), on a bien convergence si on demande l'uniformité en m.
En fait, c'est vrai pour toute fonction croissante telle que f(n,m)=f(m,n) pour tout n,m>>0.
Car on a : |u(n)-u(m)| <= |u(n)-u(f(n,m))| + |u(m)-u(f(m,n))| < 2.epsilon
pour tout n,m suffisamment grand (déterminé par la condition 2) uniforme).

Effectivement, bien vu.