Bonjour,

Encore une question sur les marches aléatoires....
On a 3 chemins A, B et C, on choisit de manière aléatoire 1 des 3 chemins, on revient au départ et on recommence de manière indépendante. On compte le nombre de fois que l'on a pris un chemin.
On pose X_i dans {1,j,j²} où j=exp(i pi/3) qui prend la valeur 1 si l'on a pris le chemin A, j si chemin B et j² si chemin C.

Soit S_n la somme des X_i de 1 jusqu'à n.
J'ai montré que |S_n| va s'éloigner autant que l'on veut de 0 et désormais j'aimerais savoir si 0 est un état récurrent.

Pour le fait que |S_n| aille aussi loin que l'on souhaite de 0 j'ai montré que ([S_n|-n) est une martingale. Je ne sais pas si cela peut être utile.
Pour l'instant j'essaye de minorer/majorer l'espérance de T où T=inf(n>1,|Sn|=1) mais si quelqu'un a une autre idée je suis largement preneur je bloque depuis 2 heures là dessus.

Si |S_n| - n est une martingale, E(|S_n| - n) = E(|S_1| - 1) = 0 donc E(|S_n|) = n.
Mais par l'inégalité triangulaire |S_n| =< n.
Donc |S_n| = n presque sûrement, ce qui est faux.
Où est l'erreur ?

Pardon c'est |S_n|²-n qui est une martingale

En fait je crois qu'il vaut mieux passer par le lemme de Borel-Cantelli.
Je pense avoir prouvé que 0 est récurrent. Merci quand même.