Salut, je ne comprends pas réellement ce qu'est une suite extraite. En indice on a une application phi (n) qui est dit comme une injection croissante mais ça veut dire quoi tout ça.

Tu prends certains termes de la suite, mais pas forcément tous ("injection"). Et tu les gardes dans le même ordre ("croissante").

par exemple, quelques suites extraites de (x(n)):
(x(2n)) (x0,x2,x4...) (suite des pairs)
(x(2n+1)) (x1,x3,x5..) (suite des impairs)

Un "contre-exemple" :

On prend la suite des entiers 1,2,3,4,5,6,....

La suite 4,2,6,8,10,12,14,16,... n'en est pas une suite extraite du fait que 2 et 4 n'y apparaissent pas dans le même ordre que dans la suite de départ (2 avant 4) Pourtant tous les termes de la seconde suite font bien parti de la première.

Pour extraire une sous-suite d'une suite, tu écris de gauche à droite tous les termes de la suite en partant du premier, puis tu les parcours de gauche à droite en en rayant autant que tu veux quand tu veux. A chaque fois que tu fais ceci, tu crées une sous-suite. La fonction qui à un entier n donné renvoie le rang du n-ième terme supprimé s'appelle l'extractrice.

Par contre attention, l'aspect "injectif" ne veut pas dire qu'on ne peut pas prendre tous les termes (toute suite est bien extraite d'elle même) mais veut dire qu'on ne peut pas prendre le même terme (de même rang) deux fois.

phi peut être n'importe quelle fonction de N dans N strictement croissante de ton choix si ça peut t'aider a comprendre

La suite de terme general sin(n) admet pour sous suite par exemple sin(2n), sin(n^2)....