Bonjour,

Je regarde actuellement le cas d'une marche asymétrique. Mon objectif est de montrer que chaque entier est atteint un nombre fini de fois.
Soit (X_i)_i des va iid telles que P(X_i=1)=p/(p+q) et P(X_i=-1)=q/(p+q)
Soit S_n=somme des X_i pour i allant de 1 à n

J'ai montré que (S_n -n (p-q)/(p+q) ) est une martingale.
Cela nous donne en particulier E(S_n)=n (p-q)/(p+q).

J'ai deux questions :
J'ai montré en particulier que 0 n'est pas un état récurrent en sommant les probas que S_n vaille 0 pour n allant de 0 à l'infini. Alors je pense pouvoir conclure en formalisant le fait que 0 ne joue pas de rôle particulier (à part d'être le point de départ de la suite de va) et qu'une fois qu'un entier m est atteint, la proba de revenir à cet entier en n coups est la même que celle allant de 0 à 0 en n coups. Est-ce correct ?

Deuxième question, y-a-t-il un moyen de conclure en utilisant l'espérance que j'ai calculé ?

Merci.

Ton raisonnement est correct, mais tu peux aussi dire que cette marche aléatoire est une chaîne de Markov irréductible. La récurrence/transience étant une propriété de classe, si 0 est un état transient, les autres états aussi.

Là comme ça je vois pas trop comment démontrer ça à l'aide de l'espérance, même si intuitivement ça se comprend bien.
En revanche Sn/n converge p.s. vers (p-q)/(p+q) par la loi des grands nombres, donc, si p>q (sans perte de généralité), Sn tend p.s. vers +oo. Donc presque sûrement, pour tout entier k, à partir d'un certain rang, Sn > k.

J'ai pas encore trop vu les chaînes de markov mais je comprends l'idée. Je trouve un peu dommage de pas pouvoir utiliser les martingales car là j'ai plus d'outils sur ce coup mais tant pis.

En revanche Sn/n converge p.s. vers (p-q)/(p+q) par la loi des grands nombres, donc, si p>q (sans perte de généralité), Sn tend p.s. vers +oo. Donc presque sûrement, pour tout entier k, à partir d'un certain rang, Sn > k.

Cet argument me plaît je te l'emprunte.

Merci.

N'oublie pas de me le rendre, je pourrais en avoir besoin.

De toute façon, t'as pas besoin de la théorie des martingales pour montrer que E(S_n) = nE(X_1).
Mais oui, doit y avoir des choses à faire avec les martingales, en utilisant les temps d'arrêt (espérance du temps d'atteinte d'un certain état, ce genre de chose), mais pour cette question en particulier, c'est pas nécessaire.

De toute façon, t'as pas besoin de la théorie des martingales pour montrer que E(S_n) = nE(X_1).

Non effectivement, même si c'est assez direct ici donc pourquoi s'en priver.