Amis du soir, bonsoir.

Prenez n'importe quel nombre uniquement constitué du chiffre 9, et multipliez-le par un autre nombre uniquement constitué du chiffre 9.

Par exemple:

9*99
999*999999
9*999
999*999

etc.

Démontrer alors que le produit n'est constitué que des chiffres 9,8,1 et 0.

D'ailleurs on peut rajouter des chiffres 0 dans le produit, ça change rien.

je sais pas

Tout d'abord on sait que deux nombres constitués uniquement de 9 sont divisibles par 9. Ainsi, en notant x le nombre constitués uniquement de 9 :
x = 9 [10]
Ainsi, en multipliant par un nombre aussi composé de 9 :
x*x' = 9*9 [10] <=> xx' = 81 [10] <=> xx' = 1 [10]
Ainsi si on note b = a_n*10^n + ... + a_1*10 + a0, alors on aura forcément a0 = 1.

De plus on sait que le résultat est divisible par 9. Donc on doit avoir :
a_n*10^n + ... + a_1*10 + a0 = 9 [10]

Après faut que je réfléchisse. Je pars dans la bonne voie ou pas ?

Après on a surtout :
a_n*10^n + ... + a_1*10 + a0 = 0 [9]
<=> a_n*10^n + ... + a_1*10 = 8 [9]

Donc on a a_n*10^n + ... + a_1*10 = 8 [9]
et a_n*10^n + ... + a_1*10 = 0 [10]

Je réfléchis encore pour la suite (j'avais fais une erreur dans le message précédent)

9*99 + 9 = 100 * 99 = 9900

Quand au produit, on rajoute un nombre composé d'un certain nombre de neuf, on arrive à un nombre composé de 9 et de 0

Donc on cherche des chiffres qui, quand on leur ajoute des 9 ou des 0 avec éventuelle retenue, on arrive sur des 9 et des 0

modulo 10 :
a + 9 = 0 donne a = 1
a + 9 = 9 donne a = 0
a + 9 + retenue = 9 donne a = 9
a + 9 + retenue = 0 donne a = 0

a + 0 = 0 donne a = 0
a + 0 = 9 donne a = 9
a + 0 + retenue = 0 donne a = 9
a + 0 + retenue = 9 donne a = 8

donc seuls 0,1,8 et 9 possibles.

Il y a sûrement moins disjoncté.

"9*99 + 9 = 100 * 99 = 9900"

Lire "9*99 + 9 = 100 * 9 = 900"