Salut à tous alors voilà j'ai un petit exercice sur les congruences, la divisibilité et le pgcd pour demain mais je bloque sur une question, voilà l'énoncé :
On désigne par (E) l'équation 19x+13y=1 d'inconnues x et y entier relatifs
1) déterminer une solution particulière de (E) en utilisant l'algorithme d'Euclide
2)a) Vérifier que 19*-2 =1 mod 13
b) en déduire que si x est un entier tel que 19x=1 mod 13 alors x=-2 mod 13
c)En déduire que si (x;y) est une solution de (E) alors il existe un entier k tel que x=13k-2 et y=-19k+3
d)Démontrer que l'ensemble des solutions de (E) est S={(13k-2;-19k+3) avec k entier
e) Démontrer que le plus petit entier x>100 pour lequel (x;y) est une solution de (E)
Je cherche pas à ce que vous me donniez les réponses mais juste que vous me mettiez sur la voie ^^ , j'ai réussis à faire la 1, 2a et 2b, Pour la c je vois pas comment on obtient le "-2" pourtant j'en suis sûr j'ai la réponse sous le nez mais j'arrive à peu près comment on arrive de 19x+13y=1 à x=.... et y=.....

up ^^

Salut, pour la 2c tu as trouvé normalement comme solution particulière de (E) à la 1) le couple (-2,3) donc tu as
19x+13y=19×-2+13×3
d'où 19(x+2)=13(-y+2)
Tu n'as plus qu'à utiliser le théorème de Gauss pour trouver l'ensemble des solutions.

C'est pour la d) en fait ce que je t'ai dis je crois, tu as fait comment pour la 2a et 2b ?

Ouais j'avais trouvé qu'il fallait que x soit = à 2 et y à 3, pour la a j'ai multiplié 19 et 6 par -2 car 19=6 mod 13 et on a -38=-12 mod 13 sauf qu'on ne peut pas avoir un reste négatif donc j'ai ajouté 13 à -12 pour avoir 1 et pour la b vu que x=13k-2 alors x=-2 mod 13 vu que quelque soit k 13k =0 mod 13

Je vois pas trop l'intérêt des questions 2a b et c à vrai dire. Je fais le même chapitre que toi actuellement en spé et il suffit juste de faire comme je t'ai dis en utilisant le théorème de Gauss et tu trouves tes solutions.

En faisant des recherches j'ai aussi remarqué que c'était le théorème de gauss, le truc c'est qu'on l'a pas encore vu x) donc bon je vais faire avec ce que tu m'as dis et le reste si je n'y arrive pas tant pis, merci beaucoup de ton aide ;)

du coup tu dis juste que 19 divise 13(-y+3) , de plus 19 et 13 sont premiers entre eux, donc d'après GAUSS 19 divise -y+3
donc -y+3=19k, y=-19k+3 puis tu en déduis la solution pour x.

Ah je comprends un peu mieux maintenant, merci encore une fois ! : D

C'est pas dans l'esprit de l'exo d'utiliser gauss je pense

Quelqu'un aurait les réponses de cet Exo du coup ? J'ai un devoir de spé la semaine prochaine et ça m'intéresserais de savoir faire ça.

C'est de la maths spé ça?

Non c'est de la spé maths, y'a pas commutativité

Ah je comprends mieux maintenant quand j'ai vu théorème de Gauss j'ai chié

du coup des gens aurait les réponses ?