Salut
Je bloque sur un exercice de début de chapitre, et j'ai besoin de votre aide.
Voici l'énoncé :

z = x = iy, x et y des réels

Déterminer en fonction de x et y les parties réelle et imaginaire de A = (z-i) / (z+2)
En déduire les complexes z tels que A soit un réel
En déduire les complexes z tels que A soit un imaginaire pur

Je bloque au tout début en fait,
En utilisant z = x = iy, je trouve A = (x + iy - i) / (x + iy + 2) et donc A = [x + i(y - 1)] / (x + iy + 2)
Et là je sais pas comment faire, j'ai tenté de multiplier par le conjugué de z ou par celui de x + i(y-1), mais ça donne des trucs pas vraiment exploitables.

Merci

Multiplie par le conjugué du dénominateur.

Salut
J'ai donc multiplié par (x+2 - iy) et j'obtiens, après calculs et simplifications :
A = (x² + 2x +y² - y) / (x² +4x + 4 +y²) + [i(-x + 2y -4)] / (x² +4x + 4 +y²)
Cela me semble assez moche comme résultat, du coup j'ai des doutes

D'autant plus que, pour répondre aux deux questions suivantes, l'expression de mon A me paraît vraiment inutilisable

Le 05 janvier 2016 à 22:04:58 Protonemas a écrit :
D'autant plus que, pour répondre aux deux questions suivantes, l'expression de mon A me paraît vraiment inutilisable

Edit : Je pense que développer le dénominateur est inutile, du coup j'ai A = (x² + 2x + y² -y) / [(x+2)² + y²] + [i(-x + 2y -4)] / [(x+2)² + y²], mais ça ne m'avance pas plus

Ca me paraît correct à ceci près que dans la partie imaginaire le 4 devrait être un deux il me semble
Ça reste raisonnable comme ecriture quand meme

Salut Skywear
Oui exact, je me suis planté dans le développement, j'avais multiplié par 2 au lieu de 1 à un moment donné.
Ouais, au final je pense que c'est bon pour la forme algébrique, mais du coup ce n'est pas avenant du tout pour déterminer quand A est réel et quand A est imaginaire pur.
Car j'ai bien compris qu'il faut que je résolve tour à tour (x² + 2x +y² - y) / (x² +4x + 4 +y²) = 0 et (-x + 2y -4) / (x² +4x + 4 +y²).
Donc, soit (x² + 2x +y² - y) = 0 et (-x + 2y -4) = 0, mais je bloque

x^2+y^2+2x+y=0 equivaut à (x+1)^2+y^2+y-1=0 soit (x+1)^2+y^2+y=1, c'est l'équation d'un cercle il me semble

Jpense que ça peut t'être utile pour ce qu'on te demande

Ca equivaut à 4/5 ((x+1)^2+(y+1/2)^2) = 1
Donc ouais cercle

Étrange, moi j'ai l'équation (x² + 2x +y² - y) = 0 et toi tu as (x²+y²+2x+y )=0, on a le signe devant le y qui diffère
Du coup, je trouve comme équation de cercle : (x +1)² + (y - 1/2)² = 5/4
Et donc la solution est le point M(a ; b) tel que M appartient au cercle (C) de centre O de coordonnées (-1 ; 1/2) et de rayon [sqrt(5)/2]
Et je vois pas où j'ai fait l'erreur en plus

Et sinon pour A imaginaire pur, je trouve comme solution : le point M (a;b) tel que M appartient à la droite (D) : y = 1/2x + 1, c'est correct, non ?

Etrange, mon message n'apparaît pas

Edit : Bizarre, en fait ça actualise pas le topic

Ah je me suis foiré en recopiant ctout

Mais pour la droite je trouve pas ça, -x+2y-4=0 donc 2y=x+4 soit y = (x/2)+2

Après jsais pas si c'est ce qu'on te demande exactement

Re, désolé pour le temps de réponse
Je sais pourquoi on trouve pas pareil : c'est encore cet histoire d'erreur dans le développement, que j'ai d'ailleurs oublié de corriger dans les posts.
Du coup, l'équation à résoudre est -x +2y -2 = 0 , et non pas -x+2y-4=0.
Hormis cette faute (mea culpa ), on trouve la même chose, donc je pense que c'est bon