Salut et bonne année à tous!

Un problème pour 2016 :

1) Est-ce qu'il existe une partie du plan qui a un nombre fini non nul d'intersection avec toutes les droites?
1bis) Est-ce qu'il existe une partie du plan qui intersecte chaque droite une unique fois?

2) Est-ce qu'il existe une partie de l'espace qui a un nombre fini non nul d'intersection avec chaque plan?
2bis) Est-ce qu'il existe une partie de l'espace qui intersecte chaque plan une unique fois?

Traduction formelle :

1) Trouver X dans R² telle que 0 < card(X inter D) < +oo pour toute droite D
1bis) Trouver X dans R² telle que card(X inter D) = 1 pour toute droite D

2) Trouver X dans R^3 telle que 0 < card(X inter P) < +oo pour tout plan P
2bis) Trouver X dans R^3 telle que card(X inter P) = 1 pour tout plan P.

Pour le 2 si on prend 3 droites non coplanaires concourantes ça marche non?

Ah oui mince

Bon j'avais trouvé la 1 au moins

Ouai je pensais à un truc dans ce genre. Remplacer mes droites par des graphes de x->x à la puissance impaire

Sinon amandin c'est toi qui les invente ces problèmes?

Pour la 1bis on peut pas trouver de fonction continue, il me semble: si elle est continue quelque part alors elles sera localement concave/convexe et elle aura forcément 2 intersections avec une droite.

si elle est continue quelque part alors elles sera localement concave/convexe

Pas avec une mocheté genre graphe fractal, parce que la convexité entraîne la dérivabilité presque partout. De même avec la monotonie, d'ailleurs.

Toute fonction continue dérivable nulle part ne peut être, même localement, monotone ou convexe/concave.

M'fin bon, vu que les mochetés en question sont ultra oscillantes, elles vont probablement croiser des tas de fois certaines droites, donc moralement, l'idée d'exclure les graphes de fonctions continues n'est pas absurde.

Si la réponse à 1) bis est positive, peso je soupçonne une utilisation de l'axiome du choix, mais sans preuve aucune.

Bah alors qu'est-ce qu'il vous arrive?

Si la partie contient au moins deux points distincts, la droite passant par ces deux points l'intersecte deux fois (au moins)...

Remplacer 1 par k > 1 est par contre beaucoup plus compliqué.

Vistiche > Je me suis inspiré de ce topic : http://www.maths-forum.com/presents-plan-89077.php

Est-ce qu'on peut trouver une courbe (pas forcément un graphe de fonction) dont toutes les droites du plan sont des tangentes?

Pour la dernière la réponse est non aussi : On prouve avec un peu de théorie de la mesure que l'ensemble des f(x) pour lesquels on a f'(x) = k (k fixé) est de mesure nulle.

Donc en particulier, une courbe ne peut pas avoir toutes les droites d'une même direction comme tangentes.

T'abuses un peu quand même, le théorème de Sard c'est brutal comme argument.

C'est un cas particulier du lemme de Sard mais pas besoin de l'invoquer, c'est ici presque une application immédiate du lemme de Vitali.