Salut !
Pour vous remettre en situation, je dois déterminer les sous groupes additifs de R.
Soit G différent de {0} un sous groupe additif de R.
Donc dans cette question, on a le réel a qui est la borne inférieure de l'ensemble G inter R+* et on suppose que a > 0.

Soit x un réel. Justifier qu'il existe (k,r) € Z*R tel que x = ka+r et 0=<r<a

Je dois justifier ceci. Merci beaucoup.

Connais-tu la partie entière d'un réel ?

k = E(x/a)
r = x - ka

Mdr j'suis trop con.
Merci.

Mais pour le justifier proprement, je dis quoi ?

Tu utilises la définition de la partie entière : l'entier qui vérifie E(x) =< x < E(x) + 1.

Pardon mais ma question c'était plutôt "à partir de la définition comment j'arrive au fait que que k = E(x/a) ?"

• Parce que je peux dire que E(x/a)*a=<x mais je vois pas où ça mène en fait.

Si k = E(x/a) alors k =< x/a < k+1, donc ka =< x < ka + a donc 0 =< x - ka < a.
Donc en posant r = x-ka, on a bien x = ka + r et 0 =< r < a.

Ah oui effectivement.
Merci !

Re-coucou.

Par la suite, il est posé : Soit c € G et (k,r) € Z*R tq c = ka+r et 0=<r<a. Montrer que r = 0

J'aurais bien prouvé que puisque r = c-ka alors r € G donc si on suppose que r >0 alors r € G inter R+* avec r < a = borne inférieure de cette partie. Or c'est faux donc r = 0.

mais je prouve comment que r € G sachant que c € G, a € G mais k € Z ?

mais je prouve comment que r € G sachant que c € G, a € G mais k € Z ?

C'con quand même, d'expérience penser à dire que r € G est le point le plus dur et tu butes sur un truc plus facile, en plus en ayant listé précisément toutes les hypothèses qu'il te faut.

Si a € G et k € Z, on a ka = a + a + a + ... + a (si k positif, sinon idem avec -a), donc ka € G.

Je te laisse finir.

Impec merci.

r = c-ka
c € G,
ka € G car

• si k >=0, ka = a + ... + a, k fois
• sinon ka =<0, ka = -(-ka) = -a + ... + (-a), le tout -k fois (car -k >0)

Et G sous groupe de (R,+)

donc c-ka € G

ça suffit comme ça ou faut faire une récurrence au propre comme a dit bluepoint_ ?

Bon ça va, je vais laisser comme ça, merci.

Re-Re-coucou.

J'ai avancé et j'arrive à la question suivante (ouais ça fait beaucoup d'aide je sais, désolé ) :

On suppose maintenant que la borne inférieure de G inter R+* est 0
i) soit (x,y) € R² tel que x<y. Montrer qu'il existe un élément w € G tel que 0 < w < y-x

Pour ça, j'essayais de prouver que G est dense dans R. Donc je cherchais une suite dn d'éléments de G telle que pour tout x € R, dn tend vers x.
Mais je n'en trouve pas.

Merci encore.

En fait c'est juste la définition de la borne inf.

Dans ce cas là, pourquoi c'est 0 < w < y-x et non 0 =< w < y-x ?

Parce qu'après tu vas vouloir l'ajouter plein de fois pour tomber entre x et y et que ça marchera difficilement si w est nul.

ok c'bon tu m'as perdu mdr

ce que je comprends pas c'est que la définition dit : "k est la borne inférieure de A ssi pour tout B > k, il existe a tq k =< a < B"

ce qui me gène c'est le inférieur ou égal, pq je peux le bazarder comme ça ?

Il existe a € A, c'est une hypothèse importante. Comme ici A = G n R+*, en particulier, le a ne peut pas être nul.

Aaaaaaah ok ! Bah parfait merci.

Mdr encore moi. Je dois prouver que x < (E(x/w)+1)w < y

j'arrive à prouver le x < ce qu'il faut
mais pas le ce qu'il faut < y

comment faire ?
(sachant que x < w < y)