Salut à tous, je bloque sur la question 8 du problème suivant

J'ai trouvé la limite de phi'' (c'est 0) mais je vois pas comment me servir de ça pour montrer l'unicité.
Pour l'instant j'ai pris f une autre fonction qui vérifie P avec f(0)=0 et j'ai montré que h=phi-f est 1- périodique et qu'elle s'annule sur tous les entiers, je pense qu'il faut que je me serve de l'information sur la dérivée seconde pour conclure que f = phi mais je n'y arrive pas, merci à ceux qui prendront le temps de m'aider !

Une fonction périodique a ses dérivées périodiques. Or, une fonction périodique qui a une limite en l'infini est forcément constante. Plus qu'à calculer la valeur de cette constante et hop.

Le problème c'est que phi" à une limite en +inf mais on sait rien à priori sur f, donc on peut pas dire que (phi-f)" à une limite :/

Mh, oui, j'avais pas vu ça sur le coup. Mais tu peux t'en sortir : si f vérifie l'équation du problème (P) en étant C^2, dériver deux fois donne

f(x+1) = f(x) - 1/(1+x)^2.

Miracle, le machin qu'on ajoute à droite est intégrable/sommable, donc notre f'' a une limite en l'infini, quitte à extraire une sous-suite. Par exemple,

f(n+1) = f(0) - somme(k=0, n, 1/(1+k)^2) -> f''(0) + pi^2/6.

De manière générale, pour x € [0,1],

f(x+n+1) = f(x) - somme(k=0, n, 1/(1+x+k)^2).

Comme f est solution de (P), on doit f''(x+n+1) > 0 pour tout x € [0,1] et tout n € N. On en déduit donc que

f''(x) > somme(k=0, n, 1/(1+x+k)^2). (*)

En prenant la limite n -> + infini, on a donc, pour tout x € [0,1],

f''(x) >= somme(k=0, infini, 1/(1+x+k)^2). (**)

En réinjectant dans (*), on a donc

f''(x+n) >= somme(k=n, infini, 1/(1+x+k)^2)

pour tout x € [0,1] et tout n € N.

Finalement, pour tout y > 0, on a

f''(y) >= somme(k=n, infini, 1/(1+y-n+k)^2)
= somme(k=1, infini, 1/(y+k)^2).

L'on reconnaît précisément ici phi''(y) dans le membre de droite, ce qui est nettement plus fort que ce qu'on avait au départ.

Ceci prouve alors que h comme tu l'as définie est périodique et concave, elle est donc constante - donc nulle.

(Taupiner à cette heure-ci, c'est vraiment pas glop.)

(Bon, la mise en page m'a volé des dérivées pour en faire de l'italique, tu rajouteras toi-même ce qu'il manque, moi j'ai bien la flemme. )

En effet ça a l'air de marcher nickel, fallait penser à passer par des suites, joli !
Bon bah merci c'était la seule question qui me manquait dans ce dm, jpeux aller dormir la conscience tranquille

Bah t'as un machin périodique quand tu étudies h, perso j'ai bien envie de voir ceque ça donne avant de retirer la solution particulière.

(À la base j'voulais dériver deux fois pour montrer que f'' est intégrable, mais c'pas tout à fait ce à quoi je suis arrivé. 'Fin si, mais de manière un peu détournée. )

Pas mal ta solution Hachino.

j'ai une autre méthode

(f(x+1)-f(x))/x = ln(x+1)/x = ln(1)/x + 1/2 + O(x²) d'où f'(1) = 1/2
de même phi'(1) = 1/2 d'où (f-phi)'(1) = 0 par ailleurs (f-phi)(1) = 0

(f-phi)" 1-périodique donc (f-phi)"(1) = (f-phi)"(n)

donc f"(n) = (f-phi)"(1) + phi"(n) > 0 ainsi on peut montrer que (f-phi)"(x)>=0 donc 1 n'est pas un point d'inflexion pour f-phi
On déduit par continuité de f-phi qu'il existe a <1 et b > 1 tel que f-phi = 0 sur [a,b] or f-phi est C² donc f-phi=0

pour la fin c'est plutôt (f-phi)"(x) >=0 donc (f-phi)' croissante or (f-phi)' = 0 sur chaque entier donc (f-phi)' =0 donc f-phi = 0

(f(x+1)-f(x))/x = ln(x+1)/x = ln(1)/x + 1/2 + O(x²) d'où f'(1) = 1/2

C'est pas bête mais je vois pas trop comment t'en déduis f'(1)=1/2, c'est pas exactement un taux d'accroissement à gauche :/
Et je pense que c'est plutôt 1 que 1/2 si c'est bien un DL que t'as fait

ln(x+1)/x = ln(1)/x + 1/2 + O(x²)

Oui mais non en fait. ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3, donc

ln(1+x)/x = 1 - x/2 + O(x^2).

Deuxième chose, comme tu peux difficilement faire tendre 1 vers 0, tu pourras rien en déduire d'intéressant sur f. Là, tu sais juste, en faisant un DL de f à la fois en 0 et en 1 que

f'(1) - f'(0) = 1.

Égalité qui se déduisait immédiatement de l'équation sur la dérivée, car

f'(1) = f'(0) + 1/(1+0) = f'(0) + 1.

Bref, t'as rien gagné, parce que t'as rien utilisé.

Oui je me suis galéré la vie,on a juste à dire que (f-phi)' est croissante ,périodique et continue donc constante et que cette constante vaut 0 étant donné que f-phi s'annule sur tous les entiers,ça marche là ?

Et d'où tu sais que (f-phi)'' est positive ?

Et pour la croissance il suffit de voir que f(n+a)=(f-phi)"(1+a) + phi"(n+a) > 0 a dans [0,1] par 1-périodicité

donc (f-phi)"(1+a) > -phi"(n+a) -> 0 quand n->+oo donc (f-phi)"(1+a) >=0 et (f-phi)"(x)>=0 pour tout x dans le domaine