Salut,
Je voudrais savoir si il existait une formule explicite pour la somme des C(k,n)/k² de 1 à n. J'ai pas du tout réussi à en trouver une , ce que j'ai essayé de faire c'est poser f(x) = ΣC(k,n)/(k+x) pour dériver en 0, en remarquant que f(x)= (1/x)[ ∫(1+t^(1/x))^ndt -1 ] (intégrer entre 0 et 1), mais ça me donne rien de concret...

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum%28C%28n%2Ck%29%2Fk%C2%B2%29+from+1+to+n

ah ouais d'accord

Avec ce genre de somme, perso j'ai envie de poser

f(x) = somme(k=1, n, C(n,k)x^k/k²).

On remarque au passage que ta somme vaut f(1).

On remarque que f''(x) = somme(k=2, n, C(n,k)x^(k-2) (k-1)/k)

= somme(k=2, n, C(n,k)x^(k-2)) - somme(k=2, n, C(n,k)x^(k-2)/k)

= [(1+x)^n - 1 - x]/x² - (f'(x) - n)/x.

(J'espère pas m'être planté sur le dernier terme, j'en suis pas très sûr. )

Bon bah maintenant que t'as une équa diff du premier ordre sur g := f', t'as plus qu'à la résoudre. Posons

b(x) = [(1+x)^n - 1 - x]/x² + n/x, on a

g'(x) = -g(x)/x + b(x).

Solution de l'équation homogène : C/x.

Perso, ça m'incite à faire encore un autre changement de fonction. Posons

h(x) = x*g(x).

Notre nouvelle fonction h est solution de

h'(x) = x*b(x) = [(1+x)^n - 1 - x]/x + n.

On a donc

h(x) = int_0^x ([(1+t)^n - 1 - t]/t + n) dt,

puis

g(x) = int_0^x ([(1+t)^n - 1 - t]/t + n) dt/x,

puis

f(x) = int_0^x int_0^t ([(1+s)^n - 1 - s]/s + n) ds/t dt.,

car f(0) = 0 si on se reporte à la définition de f.

Bon, c'est pas beaucoup plus explicite que ce que tu as obtenu, m'enfin ça a le mérite de ne faire intervenir que des plynômes, si on examine soigneusement le résultat.

je regarde ça tout de suite, merci pour ta réponse Hachino