Bonjour

Un et Vn sont deux suites. Un est croissante et Vn est convergente
Est-ce que si j'ai Un<Vn je peux en déduire que Un est convergente ?

Graphiquement ça me paraît bon mais j'arrive pas à le montrer^^

La réponse est oui, démo :

Soient (Un) et (Vn) deux suites vérifiant :
(Vn) converge et pour tout n Un<Vn.

Posons l la limite de (Vn).
Puisque (Vn) converge, il existe un rang n0 à partir duquel, pour tout n>n0, on ait |Vn-l|<1
Autrement dit -1<Vn-l<1 ce qui implique Vn<l+1 pour tout n plus grand que n0.

Or, puisque Un<Vn, on a l'inégalité Un<Vn<l+1
Un est croissante et majorée par l+1 (à partir du rang n0), donc convergente.

Ou alors tout simplement :

Vn converge, donc Vn majoré, donc Un aussi puisque Un<Vn. Donc Un converge cf théorème de la limite monotone.

Hm oui exact, j'ai voulu passer par la définition mais ce n'était pas nécessaire.

Okay merci beaucoup

C'est ça.