Salut tous le monde

j'ai ça a résoudre

(1-x²)y''-xy'+y=0

Les coefficient sont non constant , comme proceder? J'ai essayer de resoudre comme si s'était constant puis variation de la constante mais ça me mene nul part..

Dans ton cas tu as des polynômes partout en coeffs, perso je chercherais des solutions polynomiales, dans le doute.

Si x^n est le terme de plus haut degré, en ne gardant que les termes en x^n dans le membre de gauche, par identification, on doit avoir

-n(n-1)x^n - nx^n + x^n = 0,

soit n = 1 et l'identité est une solution de ton équa diff (ce que tu peux vérifier à la main).

Il n'y a pas d'autre solution polynomiale, donc je peux pas t'en dire plus. Ton sujet te donnait pas un certain type de solution, avant d'en arriver là ?

écris y comme une série entière?

La série entière te donnera encore y(x) = x, parce que le n-ième coeff du membre de gauche sera égal à

a_n*(1-n²)x^n,

si ta série entière est somme(a_n*x^n), ce qui entraîne a_n = 0 pour n =/= 1.

ben du coup si on connait une solution on peut passer par la variation de la cste non?

j'ai en question 1) démontrer t->y(sin(t)) est solution d'une equa diff
2) en déduire l'ensemble des solution de (1-x²)y''-xy'+y=0

j'avais vu que y(x)=0 est solution évidente et c'est quand j'ai voulu résoudre pour avoir toutes les solution que sa me mène a rien de très intéressant...

Oui bah c'est sûr que si tu fais une variation de la constante sur la fonction nulle, tu vas pas beaucoup avancer.

Et alors, ça vérifie quoi comme équation y(sin(t)) ?

(1 - sin²(t))y''(sin(t)) - sin(t)y'(sin(t)) + y(sin(t)) = 0

Tu sors, Philippe.

La fonction (si on l'appelle Y) vérifie Y'' + Y = 0 je crois.

Bah voilà, on avance.

Comme les solutions sont de la forme Y(t) = a*cos(t) + b*sin(t), on a l'égalité

y(sin(t)) = a*cos(t) + b*sin(t).

Le morceau avec le sinus redonne y(x) = x, magiquement et celui avec le cos, faut bidouiller du sqrt(1-x^2), qui va pas être dérivable partout.

Surtout on n'obtient qu'un ensemble contenant l'ensemble des solutions définies sur ]-1;1[ vu que arcsin(x) appartient à [-1;1] et que sqrt(1-x²) n'est pas dérivable en -1 et en 1... Il se trouve (après vérification) que cet ensemble de solutions est bien celui que l'on cherche sur ]-1;1[, mais cela ne dit rien sur ce qui se passe en-dehors de cet intervalle ouvert (on connaît la solution x |--> ax mais y en a-t-il d'autres ?).

Au pire, on suppose que l'énoncé ne demande que les fonctions définies et dérivables sur ]-1;1[.

Dans la mesure où le coeff dominant s'annule en 1 et -1, on peut au minimum deviner que quelque chose va mal se passer.

Le 21 novembre 2015 à 20:35:39 Hachino a écrit :
Dans la mesure où le coeff dominant s'annule en 1 et -1, on peut au minimum deviner que quelque chose va mal se passer.

Certes.

Non j'ai I=IR

Merci pour votre aide, ça s'éclaire mais je cherche encore