Un poil plus intéressant que :

https://www.jeuxvideo.com/forums/42-35-41883331-1-0-1-0-equation-1-a-b-ba.htm

Quels sont les couples de rationnels vérifiant 1/(a+b)=ab ?

Chic

1/(a+b)=ab
Donc b(a+b)=1/a

ab+b^2=1/a
(a/2+b)^2 - a^2/4 = 1/a
(a/2 +b)^2= 1/a + (a/2)^2
Donc

a/2 + b = (+ ou -) sqrt(1/a + a^2/4)
soit b = (+ ou -) sqrt(1/a+a^2/4))-a/2

skywear tu couvres toutes les solutions réelles, ça ne nous dit pas celles qui vont être rationnelles.

Il faudrait donc déterminer a tel que a^2/4 + 1/a soit un carré parfait ?

Ouais non ça suffit pas en fait

Un indice : Poser n = da et m = db en choisissant d de sorte que n et m soient entiers (par exemple d = ppcm des dénominateurs de a et b)

Ce gars-là a un don pour trouver des enigmes plus ou moins retorses à partir de rien. Je ne commenterai pas plus.

Pour la beauté de la chose :

1/(a+b) = ab <=> ab(a+b) = 1 (E)

On multiplie 3 fois par par p = ppcm des dénominateurs :

(E) <=> AB(A+B)=p^3 où A et B sont des entiers

On divise 3 fois par d = pgcd(A,B)

(E) <=> mn(m+n)=q^3 où m et n sont premiers entre eux et q =p/d (nécessairement entier car mn(m+n) l'est)

Mais alors comme m, n et (m+n) sont premiers entre eux deux à deux et qu'ils sont égaux à un q^3 c'est qu'ils contiennent eux même tous des facteurs au cube dans leur décomposition en facteur premiers. Autrement dit, ce sont tous des cubes.

Une somme de cubes d'entiers qui donnent un cube d'entier, c'est facile de montrer que ça n'existe pas (troll) à part s'ils sont tous nuls, ce qui n'est pas possible puisque premiers entre eux.