Salut à tous

Petit problème sur cet exercice :
Question 1 et 2, ok.
Question 3 : j'ai calculé u'/u qui me donne f'(z)/f(z) + pi cotan(pi*z).
J'ai un problème pour déduire que u'/u est périodique, et je ne vois pas non plus comment déduire de sa périodicité que u' est nulle.
Une fois admis que u' est nulle, je parviens a finir l'exercice.

J'ai trouvé sur internet que f'(z)/f(z) valait justement pi*cotan(pi*z), soit en passant par de l'analyse complexe, soit avec les séries de Fourier, mais je pense que l'exercice veut suivre un autre raisonnement.
Vous avez une idée ?

Eventuellement je viens de penser pour montrer que périodique ==> nulle, si on arrive a appliquer le théorème de Liouville en montrant que la fonction est bornée, alors elle est constante égale a 0.

Mais bon reste a montrer qu'elle est périodique, et que si elle l'est, alors elle est bornée ?

Tu peux montrer que u' / u est entière en montrant que ses singularités (qui sont des entiers) sont effaçables. On en déduira que si elle est périodique elle est forcément bornée donc constante par Liouville.

"Tu peux montrer que u' / u est entière en montrant que ses singularités (qui sont des entiers) sont effaçables"
Je n'ai pas vu ces notions, mais de toute manière je pense déja pouvoir montrer que u'/u est entière en disant que f'/f l'est et que cotan l'est aussi. Mais je ne vois pas ce que cela nous apporte ?

"On en déduira que si elle est périodique elle est forcément bornée donc constante par Liouville."
Le problème est de montrer qu'elle est périodique justement

Quelles notions n'as-tu pas vues?

Tu peux montrer que ta fonction est 1-périodique sauf erreur.

La notion de "singularité" et "d'effaçable".

On peut en effet démontrer que la fonction est périodique vu que c'est la première étape de la question, mais je n'y parviens justement pas.

Que trouves-tu comme forme simple pour u' / u ?

Sinon, pour la conclusion, as-tu vu la notion de pôle? (identique à celle de singularité dans ce cas précis)

As-tu un résultat qui dit que la dérivée logarithmique d'une fonction méromorphe ne peut avoir que des pôles simples?

Non mon cours doit être fait de manière assez spéciale car il ne fait appel ni a la définition de méromorphe / de pôle / de singularité, notions dont j'entends souvent parler sur internet quand je cherche des informations en relation avec mes exos.

Pour u'/u j'obtiens : f'(z)/f(z) + pi cotan(pi*z). et f'(z)/f(z) est exprimé explicitement sur la feuille de l'exo ( question 2 )

l'holomorphie est de la magie noire calculatoire

Et dire que c'est l'exercice le plus simple et court de mon dm

pourquoi tu te fais tant de mal avec cette matière

Pour éviter de rater mon année

tu n'as que cette matière ?

Non mais bon ça compte pas mal
Personne a une idée pour la périodicité ?

J'ai fini par trouver pour la périodicité, si quelqu'un voit désormais comment montrer que les entiers sont des singularités effaçables ?

Peut-être en calculant le développement en série de Laurent ?

J'ai pas encore vu ses notions dans le cours, j'ai un peu regardé sur wikipédia mais je ne vois pas comment développer ce gros truc en série de Laurent a priori.

J'ai essayé d'appliqué le point 4 du théorème mis ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Singularit%C3%A9_en_analyse_complexe

Cela marche presque, sur les nombres pairs je n'ai pas de soucis, mais sur les nombres impairs j'obtiens comme limite 1 + cos(pi*k) = 2 si k est un nombre impair

u'(z)/u(z) = f'(z)/f(z) - Pi*cotan(pi*z) non ?