Bonsoir,

J'ai un problème certainement tout bête :

Un mobile parcourt une ligne droite graduée (en mètres). A la graduation x, on sait que sa vitesse instantanée est de x mètres par seconde, ceci quel que soit x.

Comment retrouvre le temps mis pour parcourir y mètres, y étant connu?

les trois formules

En fait tout ce qu'il me faut c'est une vitesse moyenne mais j'ai du mal à passer de la donnée d'une vitesse instantanée en tout point à une vitesse moyenne.

Par exemple quel est sa vitesse moyenne entre les graduations 0 et 1? J'ai envie de dire 0,5 m/s sans savoir réellement pourquoi.

Bon je trouve un truc étrange.

Je partage l'intervalle [0;y] en n intervalles [(k-1)y/n ; ky/n]

Je dis que pour n très grand, la vitesse du mobile dans chaque intervalle est (k-1)y/n et donc qu'il lui faut 1/k heures pour le parcourir.

Donc pour trouver le temps de parcours total on somme les 1/k pour k variant se 0 à n et on fait tendre n vers +oo. On trouve un temps total de +oo....

Ce à quoi tu as affaire est une équation différentielle :
Si tu notes x(t) ta fonction position, dépendant du temps, la vitesse instantanée est sa dérivée, x'(t).
Ton problème correspond donc à l'équation différentielle x' = x.
Les solutions sont les A*(exp(t)).
Et on retrouve ton souci : si x(t) = 0 la seule solution possible est celle où A=0, et où ton mobile ne se déplace pas.
En somme c'est assez logique : si ton mobile passe par la position 0 il s'arrête et n'a pas de raison de repartir.

Ok effectivement c'est bien la condition de vitesse initiale nulle qui me dérangeait depuis le départ et qui pose problème.

C'est une énigme posée par mon beau-père prétendant qu'il a une solution... A suivre!

Le 21 octobre 2015 à 01:06:02 Dagnyr a écrit :
Ce à quoi tu as affaire est une équation différentielle :
Si tu notes x(t) ta fonction position, dépendant du temps, la vitesse instantanée est sa dérivée, x'(t).
Ton problème correspond donc à l'équation différentielle x' = x.
Les solutions sont les A*(exp(t)).
Et on retrouve ton souci : si x(t) = 0 la seule solution possible est celle où A=0, et où ton mobile ne se déplace pas.
En somme c'est assez logique : si ton mobile passe par la position 0 il s'arrête et n'a pas de raison de repartir.

Incroyable !
Ça à l'air tellement simple quand on lis l'énoncé, mais en fait c'est super compliqué

C'est pas si compliqué, y a pas si longtemps c'était au programme de terminale S.

D'ailleurs ça l'est encore

Comme quoi il ne me reste pas grand chose en physique de mes années lycée, triste pour un prof de maths...

Conseil à tous les futurs matheux : Ne zappez pas les maths appliquées, vous risqueriez de vous en mordre les doigts!

Je croyais que les équa diff avait disparu des programmes de TS.

Beh en principe on sait que la vitesse est la dérivée de la position en physique, et en maths on apprend que la seule solution à x' = x c'est cste*exp donc voilà

Ah oui, mais on n'apprend plus à résoudre une équa diff un tout petit peu plus générale.

Non, mais pour le problème présent c'est à la portée d'un terminale

Certes.

Le 21 octobre 2015 à 19:55:47 Dagnyr a écrit :
C'est pas si compliqué, y a pas si longtemps c'était au programme de terminale S.

Cool, je vais bientôt l'apprendre alors...:hap:

Si on part d'une borne strictement positive, ie si l'énoncé est :

On part d'un point d'abscisse A > 0 avec une vitesse initiale égale à A puis à chaque point d'abscisse A+x la vitesse est de A+x.

Alors sommes nous d'accord que le temps pour atteindre le point B > A sera de ln(B)-ln(A)?

Ca me semble certain :

L'intervalle [A;B] divisé en n parties donne des intervalles I(k) = [ A + k(B-A)/n ; A + (k-1)(B-A)/n]

La vitesse sur I(k) pour n très grand est V(k) = A + k(B-A)/n
Donc le temps de parcours de I(k) est T(k) = (B-A)/n : (A+k(B-A)/n)

Le temps de parcours total est la limite pour n tendant vers +oo de la somme des T(k) qui est une somme de Riemann de f(x)=1/x. Le tout tend bien vers ln(B)-ln(A)

On retrouve bien ce résultat avec l'équation différentielle (beaucoup plus rapide).