Bonsoir,
J'arrive pas à résoudre cette edp:
dt(u) + dx(u(1-u)) = 0, vous l'aurez compris u est une fonction de x et t.
u(x,0)=uo(x).

j'ai essayé avec la séparation de variables, séries de fourrier mais j'arrive à rien
Des idées ?
Merci

Je doute fortement que tu aies une quelconque solution explicite, ton équation ressemble beaucoup à Burgers qui n'a pas, a priori, de solution analytique.

Il faut que je trouve l'expression de la solution u(x,t) donc je pense qu'il existe une solution analytique sinon le prof ne me l'aurait pas demandé, sauf s'il est sadique XD

Ou alors le prof veut que je donne une solution du genre de celles que l'on obtient avec la méthode des caractéristiques mais ça me donnera pas une expression concrète de u ...

Le 20 octobre 2015 à 21:06:22 blue-blue-blue a écrit :
les edp c'est vraiment un domaine pour les gens pas normaux

Ben ça devrait être fait pour moi alors XD, et pourtant

C'est bon j'ai trouvé, mais il a fallu que je remonte un peu loin dans mes souvenirs là.

On utilise la méthode des caractéristiques, i.e. on va chercher des courbes x(t) telles que, la fonction h définie par h(t) = u(t,x(t)) soit constante.

En dérivant, on a

dh/dt = du/dt + dx/dt * du/dx.

On a envie de prendre dx/dt = 1-2u(t,x(t)), ce qui nous donnerait

dh/dt = du/dt + (1-2u)*du/dx = du/dt + d/dx (u(1-u)) = 0.

On se retrouve donc à vouloir résoudre

dx/dt = 1 - 2u(t,x(t))

avec la condition initiale

x(0) = x_0.

A priori on a l'air cons, vu que le x dépend de u, qui dépend de x,... mais en fait non. Il faut se rappeler qu'un tel h soit être constant (et sa valeur ne dépendra que du x_0), ce qui donne

dx/dt = 1 - 2u(0,x(0)) = 1 - 2u_0(x_0).

On peut donc intégrer :

x(t) = x_0 + t*(1 - 2u_0(x_0)) = x_0 + t*v(x_0) pour abréger.

On se retrouve donc avec une autre équation à résoudre :

u(t,x_0 + t*v(x_0)) = u_0(x_0), ou encore

u(t,x) = u_0(x - t*v(x)), où l'on a changé x_0 en x pour alléger les notations.

Finalement, la solution cherchée est donnée par la formule

u(t,x) = u_0(x - t*(1-2u_0(x))).

Voilà ! (Et donc, j'avais bien dit une connerie, Burgers 1D se résout entièrement explicitement avec la même méthode. )

C'était tout con en fait, merci Hachino jamais j'y serais arrivé, je pensais que j'obtiendrais rien avec les caractéristiques.

Tkt ça m'a perturbé aussi, au début t'as l'impression que tu tournes en rond et que tu vas arriver à rien, mais le fait que tu suives les lignes de niveau de ta solution est pas anodin, ça t'apporte une simplification colossale qui te permet de terminer.

Tu gères y a pas à dire, sinon ta thèse avance ?

Plus ou moins, là j'étais à fond dans les corrections de copie (berk), du coup l'article que je rédigeais a un peu stagné. M'fin là ça devrait aller mieux, j'espère.

Ah ok, tu donnes des cours aussi ou tu corriges juste des copies ?

Du coup j’obtiens u(x,t) = uo(x-(1-2uo(xo))t) mais comme je connais pas xo j'aurais pas d'écriture concrète

Hachino t'es quand même un putain de monstre en maths

et d'Omni caen dira t'on

Tu t'es planté à la recopie, c'est u(x,t) = u_0(1-2u_0(x)). J'ai changé de notation d'une ligne à l'autre, tous les x_0 sont devenus des x.

Je vois pas comment tu obtiens u(x,t) = u_0(1-2u_0(x)), je trouve u(x,t) = uo(x-(1-2uo(xo))t)

Le 20 octobre 2015 à 21:06:22 blue-blue-blue a écrit :
les edp c'est vraiment un domaine pour les gens pas normaux

+1

Le 21 octobre 2015 à 22:39:06 Prauron a écrit :

Le 20 octobre 2015 à 21:06:22 blue-blue-blue a écrit :
les edp c'est vraiment un domaine pour les gens pas normaux

+1

On en parle des processus stochastiques

Ton équation provient d'un processus stochastique ?

Une cm ou une martingale c'est gentil par rapport à une edp.

Le 21 octobre 2015 à 22:51:50 Eulerien-bis a écrit :
Une cm ou une martingale c'est gentil par rapport à une edp.

Ça dépend de l'edp alors ^^, parce que y a des trucs sur les temps d'arrêts-tribus qui sont bien prise de tête.