Bonjour, en kholle de maths on m'a reproché mon manque de "rigueur" sur un exercice, et j'aimerais savoir un peu comment améliorer ça... bref voilà l'énoncé :
"Déterminer le plus grand réel a tel que pour tout x appartenant à ]0;+inf[, (1/a)x >= ln(x) "

Voilà ma rédaction :

"Posons f(x) = (1/a)x - ln(x), avec x appartenant à R+* et a=/=0. Étudions les variations de f sur son intervalle de définition :

f est dérivable sur R+* (somme de fonctions dérivables)
On a f'(x) = 1/a - 1/x

D'où :
f'(x) = 0 <=> x=a
f'(x) > 0 <=> x>a
f'(x) < 0 <=> x<a

On en déduit les variations de f :
[Là je trace la tableau de variations, et on remarque que le minimum de f est 1-ln(a)]

On en déduit que pour tout x appartenant à R+*, f(x)>= 1-ln(a)

On cherche le plus grand réel a tel que 1-ln(a) >= 0 (E)
Posons S l'ensemble des solutions de (E).

Soit a appartenant à S :
Alors on a 1-ln(a)>=0
D'où ln(a)<=1
Par croissance de l'exponentielle :
a<=e
Donc S c ]0;e[
[Le c c'est "est inclus dans"]

[Donc là en fait je veux procéder par double inclusion (on m'a dit que ça manquait), et pas par équivalence parce que mon prof déteste ça ]

Mais je vois pas comment prouver l'inclusion réciproque dans le cas d'une inéquation ?
Et à part ça, est-ce que le reste de ma rédaction est correcte ?

T'as beaucoup plus simple. Comme le ln est strictement croissant, tu peux directement affirmer que 1 - ln(a) >= 0 ssi a <= e, valable pour a > 0. e est donc la plus grande solution possible, terminé.

D'autre part, ta condition "S c ]0,e[" est incorrecte, puisqu'à la ligne d'avant tu as la condition "a <= e", qui est une inégalité large.

Merci mais je comprends pas ton raisonnement
En quoi la croissante de ln permet de montrer directement que 1-ln(a)>=0 equivaut à a<=e ?
Dans ce cas pas besoin de double inclusion ?

Oui c'est ce que je veux faire bluepoint mais justement je vois pas comment procéder

Si par exemple j'ai S c {0;1} bah j'ai juste à montrer que 0 et 1 sont solutions de l'équation

Mais dans le cas d'une inéquation comment procéder ?

Up

Soit 0 < x <= e. Par croissance du ln, ln(x) <= 1, donc 1-ln(x) >= 0 donc x appartient à S.

C'est ça que tu voulais montrer ?

Ah bah oui c'est ça, merci

Une autre façon de rédiger, c'est de commencer par étudier la fonction ln(x)/x sur ]0,+oo[.
On constate qu'elle croît de -oo à 1/e entre 0 et e, puis qu'elle décroît de 1/e à 0 sur [e,+oo[.
Donc elle atteint son maximum en 1/e. On a donc : pour tout x > 0, ln(x)/x <= 1/e.
e vérifie donc la propriété : "pour tout x > 0, (1/e)x >= ln(x)".

Pour vérifier que e est bien le plus grand nombre vérifiant cette propriété, il suffit de montrer que si a > e, il existe x > 0 tel que (1/a)x < ln(x), soit ln(x)/x < 1/a. Or a > e => 1/a < 1/e et le TVI donne l'existence du x cherché.

Pour résumer, j'ai utilisé le fait que ( M = max { x | P(x) } ) <=>[ P(M) ET (pour tout x >M, non(P(x)) ) ]

En effet pourquoi pas
Mais ça me semble un peu plus long qd meme

J'ai une autre petite question

Selon cet exo on a x/a >= ln(x) pour a dans ]0;e] et x dans R+*, et x/a = ln(x) ssi a = e et x = 1-ln(a)

Donc pour a=1,
on a x>ln(x)
D'où x-ln(x)>0

Et donc dans l'exo suivant, je dois étudier la fonction définie par f(x) = (ln(x))/(x-ln(x))
Je commence par determiner le domaine de definition de f.

Puis-je me servir du resultat de l'exo précédent ou pas ? (Selon l'exo on a x-ln(x)>0 donc le denominateur ne s'annule jamais)

Ou vaudrait-il mieux etudier proprement g définie pae g(x) = x-ln(x) ?

Parce que je trouve ça plutôt malin de se servir de l'exo précédent mais je me demande si c'est autorisé (ce sont deux exos que j'ai eu à la suite en colle qui ne sont pas censés avoir de liens entre eux)

Si t'as démontré un truc juste avant t'as le droit de l'utiliser quand même. Mais bon c'est pas nécessaire de faire référence à l'exo précédent, il me semble que l'inégalité ln(1+x) <= x est bien connue. Mais au pire ça se démontre très vite.

Ok, merci

J'ai quand même une dernière question.
"Cf admet-elle une tangente en x=0 ?"
La limite de f en 0 est -1
Par prolongement de continuité on pose f_(0)=-1
En calculant f_'(0) a l'aide du prolongement de continuité je trouve f_'(0) = 0

Du coup je trouverais, pour l'équation de la tangente en 0,y = xf_'(0) + f_(0) = -1

Mais je sais pas si cette tangente existe vraiment ?

Ce qu'on te demande, formulé autrement, c'est si la fonction prolongée (par f(0) = -1) est dérivable en 0.
On trouve effectivement que (f(x) - f(0))/x tend vers 0, donc y'a un nombre dérivé à droite (en fait c'est une demi-tangente).

Merci
Juste je comprends pas la fin de ta phrase.
Un nombre dérivé à droite ?

Ça signifie qu'on prend la limite de (f(x) - f(0))/x quand x tend vers 0 ET x>0.
https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9rivabilit%C3%A9#D.C3.A9rivabilit.C3.A9_.C3.A0_gauche_ou_.C3.A0_droite

Ah ouais ok j'ai compris, merci beaucoup