Salut

L'énoncé :

Soit E et F deux ensembles ordonnés, f : E → F et g : F → E deux applications. On suppose que f et g sont décroissantes et que pour tout (x,y) ∈ E x F, g∘f(x)≥x et f∘g(y)≥y.

1) Montrer que f∘g∘f = f et g∘f∘g = g (fait)
2) On pose pour tout x ∈ g(F), f'(x) = f(x) et pour tout y ∈ f(E), g'(y) = g(y). Montrer que f' établit une bijection décroissante de g(F) sur f(E), que g' établit une bijection décroissante de f(E) sur g(F) et que ces deux bijections sont réciproques l'une de l'autre.

Donc j'ai réussi à montrer la surjectivité, mais je suis infoutu de faire l'injectivité, donc si quelqu'un aurait une piste, je suis preneur.

Merci

C'est tout con, tu prends a et b dans g(F) et tu montres que si ils ont même image par f', a=b.
Pour ça t'écris ce que c'est que a appartient à g(F), puis t'appliques g∘f∘g = g. Ça tombe tout seul

Bah j'sais pas, y'a un truc qui bloque dans mon cerveau, ou j'suis con, mais ça fait une heure que je retourne les données dans tous les sens, que j'applique des trucs et des trucs, et pourtant je capte toujours pas où est-ce que je peux trouver l'égalité.

Soit x dans f(E)

alors f' o g' (x) = f' o g' o f (e) avec f(e) = x

or g' o f(e) = g o f(e) car f(e) € f(E)

donc f' o g' (x) = f' o g o f(e)

or f' o g o f(e) = f o g o f(e) car g o f(e) € g(F)

au final f' o g' (x) = f o g o f(e) = f(e) = x

de même on prouve que g' o f' (x) = x

donc f' et g' sont bijectives et réciproques l'une de l'autre.

Ah oui ok, j'y aurais pas pensé.

Merci beaucoup !

C'est quel chapitre de quoi ça ?

Post-bac hitsu

Le 29 septembre 2015 à 19:52:36 Carapucelle a écrit :
Bah j'sais pas, y'a un truc qui bloque dans mon cerveau, ou j'suis con, mais ça fait une heure que je retourne les données dans tous les sens, que j'applique des trucs et des trucs, et pourtant je capte toujours pas où est-ce que je peux trouver l'égalité.

Soit a et b dans g(F) tel que f'(a)=f'(b). Il existe x et y dans F tel que a=g(x) et b=g(y).
f(g(x))=f(g(y)). Puis en composant par g à gauche et en appliquant g∘f∘g = g t'as
g(x)=g(y) ie a=b

Le 29 septembre 2015 à 22:37:23 eleijah a écrit :

Le 29 septembre 2015 à 19:52:36 Carapucelle a écrit :
Bah j'sais pas, y'a un truc qui bloque dans mon cerveau, ou j'suis con, mais ça fait une heure que je retourne les données dans tous les sens, que j'applique des trucs et des trucs, et pourtant je capte toujours pas où est-ce que je peux trouver l'égalité.

Soit a et b dans g(F) tel que f'(a)=f'(b). Il existe x et y dans F tel que a=g(x) et b=g(y).
f(g(x))=f(g(y)). Puis en composant par g à gauche et en appliquant g∘f∘g = g t'as
g(x)=g(y) ie a=b

Ah oui, je persistais avec mes a et b, pour ça que j'y arrivais pas. Merci.