Bonjour,
comme le titre l'indique, une question de mon DM me pose problème. Vous certifiant que j'ai déjà bien assez sollicité mes méninges, je fait appel aux vôtres. Voici l'énoncé :
Montrer que, pour tout t dans ]- 1/2 ; 0] : t + t^3 / 3 + 2t^5 / 5 <= (1/2) ln( (1+t) / (1-t) ) <= t + t^3 / 2
Au vu de la "gueule" de l'inégalité, j'ai pensé a étudier deux fonctions associées :
f(x) = (1/2) ln( (1+t) / (1-t) ) - ( 2t^5 / 5 + t^3 / 3 +t )
g(x) = t + t^3 /3 - ( (1/2) ln( (1+t) / (1-t) ) )
Pour g pas de problème, j'ai dérivé puis ai montré qu'elle est décroissante et enfin que g(0) > 0
Pour f, j'ai dérivé puis montré que la fonction est croissante mais je suis incapable de montrer que f(-1/2) > 0. En effet, ce problème revient a montrer que, si mes calculs sont exacts, ln (3) > 133 / 120. Or je n'arrive pas à le prouver. Ai-je fait fausse route ?
Merci de votre aide.

T'as le droit d'utiliser un développement de Taylor ou pas ?

Non, on ne l'a pas vu

Hm ben déjà je crois que ln(3) < 133/120 du coup tu as dû faire une erreur apres jsais pas laquelle

La fonction doit être décroissante, puisque f(0) = 0.

Désolé je suis en TS donc je peux pas t'aider, mais puis-je te poser une question ?
Ce DM est-il faisable en fin de TS ?

Oups, oui en effet j'ai fait une erreur de transcription: il faut que je montre quel ln(3)< 133/120

Bounty Deter le DM en entier non, mais cet exercice oui
Prauron oui tu as raison je me suis trompé dans le signe de la dérivée, la fonction est bien décroissante, j'espère qu'il n'y a pas d'autres erreurs de ce genre

donc au final l'exo est résolu merci les gars

Tu as montré que ln(3) < 133/120 ?

Non c'est désormais inutile puisque les deux fonctions, décroissantes, s'annulent en 0