Bonjour,

Comment vérifier que T=(T.u)u+(T.v)v?
Sachant que (u,v) est une base orthonormée de R² et T=(x,y) un vecteur de R²

Les éléments en gras sont des vecteurs.
Le point représente le produit scalaire.

Merci bien.

J'ai tenté des choses, comme faire le produit scalaire en décomposant u (Ux, Uy) et v(Vx, Vy) et tout développer, mais ça donne rien.

Je devine bien que (T.u) et (T.v) sont les composantes de T mais comment le démontrer?

Personne ?
Dites si j'ai mal expliqué la consigne.

Tu décomposes T selon ta nouvelle base (u,v)
Soit a,b les composantes de T selon cette base.

On a donc T = a*u + b*v.
Donc (T.u)u+(T.v)v = (au+bv.u)u +(au+bv.v)v
Tu utilises la bilinéarité :
((au+bv).u)u +((au+bv).v)v = a(u.u) * u + b(v.v) * v = a*u + b*v = T

Si tu as une base orthonormée B = (U1, ... , Un) alors si x appartient à vect(U1,...Un)
x=ΣAiUi et pour tout j € [[1,n]] <x,Uj> = <ΣAiUi , Uj> = ||Uj||*Aj = Aj par définition.
si Aj=<x,Uj> alors x=Σ<x,Ui>*Ui

Merci pour vos réponses, je vais tenter tout ça.